■河南省郸城县第一高级中学 靳 亭

直线与圆是高考的常考内容,常考查直线与圆的方程、切线方程、直线与圆的位置关系,并应用直线和圆的方程解决有关问题,常借助于几何法和代数法解决相关问题。下面针对直线与圆的考查热点进行梳理总结,探究题型命题规律,揭示解题方法,提供解题策略,希望对同学们的学习有所帮助。

高考热点1 直线与圆的方程

(方法二)由于只要求写出其中一个圆的方程,我们写最简单的一个。设O(0,0),A(4,0),B(4,2),可知OA⊥AB,所以以OB为直径的圆就是过点O,A,B的圆。因为OB的中点为(2,1),|AB|=,所以过点O,A,B的圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5。

例2(2019 年江西高考)设直线系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),对于下列四个命题:

A.M中所有直线均经过一个定点

B.存在定点P不在M中的任一条直线上

C.对于任意整数n(n≥3),存在正n边形,其所有边均在M中的直线上

D.M中的直线所能围成的正三角形面积都相等

其中真命题的代号是_____(写出所有真命题的代号)。

解析：容易知道M表示圆x2+(y-2)2=1的所有切线。

对于A:任意点(x,y),若x2+(y-2)2≥1,方 程xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),θ有有限个解;若x2+(y-2)2＜1,方程xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),θ无解。因此经过任意点的直线均为有限个。

对于B:(0,2)不在任一直线上。

对于C:做圆x2+(y-2)2=1的外切正n边形即可。(将正n边形的中心置于(0,2),中心到边的距离设为1,此正n边形即满足题意)

对于D:注意到任意三条直线若能围成一个正三角形,存在两种情况,面积不一定相等。填BC。

高考热点2 直线与圆的位置

例3(2021年新高考Ⅱ卷)已知直线l:ax+by-r2=0 与 圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是( )。

A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切

B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离

C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离

D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切

解析：转化点与圆、点与直线的位置关系为a2+b2、r2的大小关系,结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可求解。

故选ABD。

例4(2020 年全国Ⅱ卷)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为( )。

解析：因为圆上的点(2,1)在第一象限,若圆心不在第一象限,则圆至少与一条坐标轴相交,不满足题意,所以圆心必在第一象限。

设圆心的坐标为(a,a),则圆的半径为a,圆的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=a2。

由题意得(2-a)2+(1-a)2=a2,即a2-6a+5=0,解得a=1或a=5。

高考热点3 直线与圆的对称和相切问题

两圆的方程相减可得2x+y+1=0,即为直线AB的方程。

故选D。

高考热点4 直线与圆的最值

例10(2012年北京大学等十三校联考自主招生试题)若点C在圆x2+y2-2x=0上,点A坐标为(-2,0),点B坐标为(0,2),则△ABC面积的最小值为( )。

高考热点5 直线与圆的轨迹

例11已知点O(0,0),B(m,0)(m＞0),动点P到O、B的距离之比为2∶1,求:

(1)P点的轨迹方程。

(2)当P点在什么位置时,△POB的面积最大? 并求出最大面积。