例谈《直线和圆的方程》的新题型

2023-10-28安徽省安庆市第一中学洪汪宝

中学生数理化(高中版.高二数学) 2023年10期

■安徽省安庆市第一中学洪汪宝

随着新高考的不断推进,对直线和圆的方程的考查出现了一些新题型,比如开放型问题、多项选择题、结构不良题、数学文化题、新定义概念题等。这些新题型综合性和灵活性比较强,创新力度大,对同学们的阅读理解能力、逻辑推理能力、运算求解能力、分析问题和解决问题的能力等多种思维能力和综合素养要求比较高,体现了基础性、综合性、应用性、创新性的考查要求。下面结合具体例题谈谈这些新题型的求解策略,希望对同学们的学习有所帮助。

一、开放型问题

评注:本题是一道典型的条件开放型问题,设圆心C到直线AB的距离为d,并用距离d表示弦长|AB|,从而用d表示三角形的面积。先结合已知的三角形面积大小得到关于d的方程,解出d的值,再利用点到直线的距离公式得到参数m的方程,即可求出满足题意m的值。

例2(2022年全国新课标Ⅰ卷)写出与圆x2+y2=1 和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程。

图1

图2

评注:本题是一道典型的结论开放型问题。先根据两圆的圆心距与半径之和进行比较,发现两圆相外切,于是其公切线有3 条,作为填空题,只需填一个最有把握的、最易求出的直线方程,很明显,填写x=-1比较合适,解题时注意这种开放题的答题技巧。

二、多项选择题

例3已知圆M:(x+cosθ)2+(ysinθ)2=1,直线l:y=kx,下列四个命题为真命题的是( )。

A.对任意实数k和θ,直线和圆相切

B.对任意实数k和θ,直线和圆有公共点

C.对任意实数θ,必存在实数k,使得直线与圆相切

D.对任意实数k,必存在实数θ,使得直线与圆相切

解：圆M:(x+cosθ)2+(y-sinθ)2=1恒过定点O(0,0),直线l:y=kx也恒过定点O(0,0),故B正确。

故选BD。

评注:注意题中的圆是动圆,其圆心在圆x2+y2=1 上,半径为1,直线l是过原点的动直线,结合选项对各个命题进行判断,注意对量词的正确理解。

例4对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下:若两条直线中至少有一条与圆相切,则称该位置关系为“平行相切”;若两条直线都与圆相离,则称该位置关系为“平行相离”;否则称为“平行相交”。已知直线l1:ax+3y+6=0,l2:2x+(a+1)y+6=0 与圆C:x2+y2+2x=b2-1(b＞0)的位置关系是“平行相交”,则实数b的取值可以是( )。

A.1 B.2 C.3 D.4

解：由已知得直线l1:ax+3y+6=0 与l2:2x+(a+1)y+6=0平行,则a×(a+1)=3×2,解得a=2或a=-3。

当a=2时,两条直线方程相同,两条直线重合,不合题意。

当a=-3时,经检验符合题意,故a=-3。

此时两条直线方程分别为x-y-2=0,x-y+3=0。

将x2+y2+2x=b2-1(b＞0)配方整理得(x+1)2+y2=b2,其圆心坐标为(-1,0),半径为b。

故选BCD。

评注:正确理解“平行相切”“平行相离”“平行相交”等概念是解决本题的关键。先求出“平行相切”时参数b的值,再求出“平行相离”时参数b的取值范围,从而得到“平行相交”时参数b的取值范围,结合各选项进行选择。

三、结构不良题

所以圆C的方程为(x+4)2+(y+2)2=2。

评注:本题是一道典型的结构不良题,实际上也是一道条件半开放问题,要求先从所给两个(有时更多)条件中选一个(不能多选)补充到题目中,再结合题目中其他条件给出正确答案。同学们可以根据自身情况灵活选择其中一个解答,但尽量保证选能正确解答的条件,千万不要选自己不熟悉的条件,防止给自己设置陷阱。

四、数学文化题

评注:本题以“欧拉线”为背景考查直线方程的求法,求解的关键是抓住欧拉线就是三角形的外心、重心、垂心所在的直线。考查数学知识的同时向同学们阐述数学家的突出贡献。注意三角形的外心是三角形外接圆的圆心,是三条中垂线的交点;三角形的重心是三条中线的交点;三角形的垂心是三条高所在直线的交点。千万不要弄混这三个概念。

例7古希腊数学家阿波罗尼斯(约公元前262年-公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果。著作中有这样一个命题:平面内与两定点距离的比

评注:先根据定义求出阿波罗尼斯圆(通常简称“阿氏圆”)的方程,挖掘出点实际上是两圆的公共点,从而得到两圆的位置关系是相切或相交,转化为圆心距与半径之和、半径之差的不等关系,从而求出参数范围。考查直接法求圆的方程、圆与圆的位置关系等多个知识点,同时向同学们阐述古希腊数学的辉煌成就,激发同学们学习数学的热情。