欧阳顺湘

(哈尔滨工业大学(深圳)理学院 518055)

1 引言

数学家们历来提倡读大师的原著以获得启发. 如阿贝尔通过阅读高斯的《算术研究》而受益很深,并说:“要想在数学上取得进展,就应该阅读大师的而不是他们的门徒的著作.”伍鸿熙在[15]中劝告读者多读大师作品,举例言安德烈·韦伊(André Weil)就是通过阅读高斯的著作获得灵感而提出韦伊猜想的,又讲到韦伊劝年轻人一定要找高斯、欧拉等第一流的数学家的全集来读. 李文林在[8]中写道:“阅读数学家特别是数学大师们的原始著述,是了解数学的起源与发展的最直接与最可靠的途径. 同时,这些原始著述向我们提供了数学创新思维的范例,学习历史范例,可以‘促进数学发现的艺术,揭示数学发现的方法’,推动现实的数学研究.”

近年来,人们越来越重视数学史相关材料在数学教育中的作用[5-7],认为历史范例可以在强调过程的数学教学中发挥作用,可以将数学家创造数学真理的思维过程活生生地展现在学生面前,在某种程度上改变那种从公式到公式、从定理到定理的教学程式[6,7]. 无疑,数学史中最具启发作用的范例在大师的原著中. 因此,从原著中汲取营养是自然而重要的. 只是为了教学的目的,有时可能需要将原著中的材料进行合理采取、适当整理与必要阐释.

阿基米德是数学史上公认的最伟大的几位数学家之一,其作品《圆的度量》[1,pp.282-288]是数学历史上的珍宝.《圆的度量》包含三个命题. 第三个命题就是阿基米德著名的关于圆周率的上、下界的估计:

这个结论或许是《圆的度量》中最受人关注的部分.刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家,他在《九章算术注》中对“圆田术”给的约1800个字的注,包含了奇妙的“割圆术”,给出了圆周率的估计.对初学者而言,“割圆术”原文可能稍显晦涩,但其思想简洁漂亮.辅以合适的解释,中学师生能理解阿基米德、刘徽原著中关于圆周率估计的内容.

刘徽与阿基米德是光耀千古的中西双壁,刘徽《九章算术注》中的“割圆术”足与阿基米德的《圆的度量》媲美,甚至更为精妙.将他们估计圆周率的数学技术和思想进行比较研究,可以更好地学习其中的数学思想,更清晰地认识到中外古代数学家们的智慧.

本文的主要目的是希望将阿基米德估计圆周率的原本方法以较友好的方式呈现给读者,同时简要介绍刘徽的“割圆术”,并对他们的方法进行对比,讨论其异同与优劣.

(2.1)

这里的估计分数的特点在于它们非常接近真实值:

类似地,阿基米德在计算中还未加解释地用到如下大数平方根的估计

以及

2.1 佩尔方程

所谓佩尔方程是指正整数对(x,y)所满足的方程x2-Ny2=1,其中N为无平方因子的正整数.如果(x,y)是一组解,则由

2652-3×1532=-2, 13512-3×7802=1,

(p,q)=(70226,40545)=(2652+1,265×153)

是佩尔方程p2-3q2=1的解,因而有

2.2 调日法

下列引理被称为调日法,常归于我国南北朝时期数学家何承天.该方法通过调整有理数的分子分母以得到更佳近似值.

证明第一个结论可以用常规方法证明.第二个结论只要多次应用第一个结论即可得证.

图1 希腊阶梯示意图(如由可得对此两数应用调日法可得

2.3 连分数法

2.4 巴比伦法

设a0>0,

(2.2)

巴比伦法可以从我们现在熟悉的牛顿迭代法得到.设f(x)=x2-3,则牛顿迭代公式为

简单整理易知

图2 开方近似值的几何示意图

(2.3)

它只不过是完全平方展开式的简单应用:

利用我们现在的知识,易理解(2.3)是麦克劳林级数展开的简单应用:对任意|x|<1,有

近似公式(2.3)也等价于巴比伦方法:

克莱因认为阿基米德很可能是用如下与(2.3)有关联的公式[3]

(2.4)

(未完待续)