唐诗生, 艾合买提·阿不力孜

(1. 新疆师范大学 物理与电子工程学院, 新疆 乌鲁木齐 830054; 2. 江苏省海头高级中学, 江苏 连云港 222111)

1 研究背景

量子通信是将量子力学基本原理融入到信息科学中产生的一门新兴学科.该学科主要包括量子隐形传态、密集编码、量子密钥分发等[1-2],其中量子隐形传态是量子信息领域最引人注目的研究课题之一[3-4].量子隐形传态是量子力学中特有的一种现象,现已发展成为一种重要的量子通信技术.1993年,Bennett等[5]首次提出量子隐形传态方案.量子隐形传态是利用量子纠缠原理和经典通信,将未知量子态从发送方传输到接收方的一种传输方式,在远距离的传输过程中只传输物理系统的有关信息而不传输物理系统本身[6].具体为:Alice和Bob在隐形传态前制备好一对EPR粒子并以它作为量子信道;Alice把自己手中的量子位与待传输的量子位用Bell基进行联合测量,测量后将测量结果使用经典信道通知Bob;Bob根据Alice的测量结果,在EPR对中属于Bob的这个粒子选择合适的Pauli算子进行运算,从而恢复出Alice传输未知量子位的状态.隐形传态已引起了很多研究者的兴趣,例如:Cao等[7]研究了10量子位量子隐形传态的最优方案;Verma[8]研究了多量子位双向控制量子隐形传态,发现了这个方案更通用且操作复杂度较低;Jiang等[9]研究了带记忆噪声信道中未知单量子态控制的量子隐形传态,发现对于三翻转和去极化噪声,无论噪声参数如何,记忆都会提高平均保真度;王娜等[10]研究了非最大纠缠态的受控量子隐形传态,发现相对于GHZ态隐形传态在可控性和安全性上都有优势,同时也在保证成功率的情况下减少了一定的测量过程;刘芷仪等[11]研究了高维不对称受控隐形传态的方案,发现他们提出的方案在物理上容易实现.

考虑到实际存在的任何物理系统都不可能做到完全封闭,因此都不可避免地受到环境的影响.由于环境给量子系统带来了噪声,会破坏系统的关联特性,所以研究开放性量子系统的量子关联随时间的演化动力学就显得非常有意义.根据开放系统的理论知识,由环境对系统的影响程度,可把量子系统所处的环境划分为无记忆效应的马尔科夫环境和有记忆效应的非马尔科夫环境[12].由于马尔科夫环境没有环境记忆效应,所以量子系统中的信息和能量只能单一地从系统流到环境,而不能由环境反过来影响系统;非马尔科夫环境具有环境记忆效应,即系统与环境之间具有信息、能量[13]等的交换,因此系统的历史状态影响着系统现在的状态.

1998年,Diosi等[14]系统地论证了非马尔科夫量子态扩散方法,并采用真实存在的物理系统成功地模拟了量子关联的非马尔科夫动力学演化;Jing等[15]研究了存在2种噪声情况时,量子隐形传态的时间演化;Yu[16]研究了费米库的量子态扩散,成功地写出了系统在费米库中的非马尔科夫主方程;Shu等[17]研究了非马尔科夫量子态扩散对三能级系统的动力学控制,发现对三能级系统的控制效果取决于环境记忆时间;迪丽达尔·海依提江等[18]研究了非马尔科夫环境对海森堡XXZ自旋链模型中量子隐形传态的影响,发现非马尔科夫环境的记忆效应可有效地提高平均保真度;Islam等[19]研究了在非马尔科夫近似下混合噪声中优化系统的量子隐形传态和密集编码;阿拉帕提·阿不力米提等[20]研究了非马尔科夫玻色库对单个三能级原子量子隐形传态的影响,发现环境的非马尔科夫特性强时,三能级原子中量子隐形传态保真度拥有较长的弛豫时间.本文主要讨论在非马尔可夫环境中海森堡XYZ模型的量子隐形传态,通过非马尔科夫量子态扩散方法计算出系统的保真度,从而精确地模拟出系统保真度的演化情况.

2 模型与方法

Htot=Hsys+Henv+Hint,

(1)

其中

Bcos(ωt)(σZ1+σZ2)+DZ(σx1σy2-σy1σz2),

(2)

(3)

(4)

L=κ

Lindblad算符中的κA、κB分别描述2个不同自旋耦合强度的常数,在文中取κA=κB=1.

在相互作用绘景中,自旋系统的随机薛定谔方程[23]如下式所示

(5)

其中,α(t,s)通常描述为环境关联函数,且定义为

M[zt]=M[ztzs]=0, M[z*tzs]=α(t,s).

在非马尔科夫环境下一阶噪声可以忽略.量子轨迹|ψt(z*)〉的系综平均密度算子[24]为

ρ(t)=M[|ψt(z*)〉〈ψt(z*)|] =

(6)

在非马尔科夫环境的系统量子态演化精确方程(5)中,明显可以发现方程包含一个时间非局域项.正是时间非局域部分的存在,导致了方程的积分过程非常的困难甚至不可实现.现将方程(5)中对时间有依赖的部分用操作符O(t,s,z*)[25]来替代,有下式

(7)

由一致性条件得

(8)

从一致性条件中就能够得到算子O(t,s,z*)的时间演化方程[26]

(9)

式中

然而O算符的运动方程必须要有初始条件才能求解,在这里初始条件由

O(t,t,z*)=L

给出.把O操作算符按以下形式进行扩展,并忽略高阶项[27],有

O(t,s,z*)=f1(t,s)O1+f2(t,s)O2+

f3(t,s)O3+f4(t,s)O4+f5(t,s)O5+

f6(t,s)O6+f7(t,s)O7+f8(t,s)O8,

(10)

其中:

O1=σA-,O2=σB-,

O3=σAzσB-,O4=σA-σBz,

O5=σAzσB+,O6=σA+σBz,

fi(i=1,2,…,8)是一些随时间改变而改变的系数.用O算子的展开式(10)代入方程(9)中,有关O算符系数的偏微分方程就能够准确地得到

F2f4+F3f4+F4f3+F4f2+F2f2+F3f3+2iDzf4,

F2f1+F3f1+F4f2+F4f3+F2f3+F3f2+2iDzf1,

蔡飞等[12-14]发现，在缺氧条件下，血府逐瘀汤含药血清可以增加人微血管内皮株（HMEC-1）细胞活性，增加内皮细胞迁移、黏附和血管腔形成能力。在非缺氧条件下，血府逐瘀汤含药血清可以促进血管数量的增加。同时不同浓度含药血清均可影响碱性成纤维细胞生长因子（bFGF）的转录水平和浓度，通过对内皮细胞的多环节干预调节，促进血管新生。研究发现不同浓度含药血清可以下调EphB4和EphrinB2基因表达，其促血管新生机制与EphB4/EphrinB2密切相关。

F1f4+F4f1-F1f2+F3f4+F3f1+F4f2-2iDzf2,

F4f8-F4f5+F5f1-F8f1+F1f7-F2f5-

F3f8-F4f7+F6f1-F7f1+2iDzf7,

F1f6+F2f8-F3f8-F4f7+F5f2-F8f2-

F3f6-F3f7+F6f2-F7f2-2iDzf8,

F1f7+F2f5-F3f5+F4f6-F5f3+F8f3-

F3f7+F3f6-F6f3+F7f3-2iDzf5,

F4f5-F4f8-F5f4+F8f4+F1f6-F2f8-

F3f5-F4f6-F6f4+F7f4+2iDzf6.

上式中

Fds, i=1,2,…,8.

现在代入系数fi的初始条件,如下所示:

f1(t,t=s)=1,f2(t,t=s)=1,

f3(t,t=s)=0,f4(t,t=s)=0,

f5(t,t=s)=0,f6(t,t=s)=0,

f7(t,t=s)=0,f8(t,t=s)=0.

两比特海森堡XYZ系统中的量子态随时间演化的过程能够通过上述方程进行精确的数值模拟,量子态扩散方程(5)就能够简洁表示为如下时间的局域方程

(11)

其中

其中,γ为环境噪声关联系数,其取值大小能够用来区分系统处于马尔科夫环境还是非马尔科夫环境中.实际中,可通过控制储存的记忆效应来改变参数γ的取值大小,从而实现系统处于非马尔可夫环境或马尔可夫环境中:γ>2时系统非常地接近马尔科夫环境,特别是在γ→∞时α(t,s)→δ(t-s),非常明显地发现此时系统处于马尔可夫环境;反之,γ<2时通常可视为系统接近非马尔科夫环境.将方程(11)代入方程(6),就能够得到量子态扩散非马尔科夫主方程[28]

[L,ρ

(12)

由方程(12)就能够得到随时间演化的系统约化密度矩阵.

3 标准量子隐形传态协议

在标准量子隐形传态协议[18]中,采用最大纠缠态作为量子信道.通常是4个Bell态之一,4个Bell态是

|ψ0,3

|ψ1,2

本文选择的信道是最大纠缠态

|ψ

用任意未知的单粒子纯态作为被传输的信息,它在Bolch球上用矢量表示为

其中,0≤θ≤π,0≤φ≤2π.发生隐形传态后总输出态为

(13)

其中,ρt代表在t时刻系统的约化密度矩阵,即通过量子态扩散方法计算出来的方程(12);ρin为输入态也即传送的态

ρin=|φ〉in〈φ|.

方程(12)代入方程(13)可计算出输出态ρmout.经过隐形传态后的量子态和刚开始外界输入的量子态的相似程度可用保真度[29]进行衡量,因而可确定隐形传态中的传输质量.保真度的定义为

F=in〈φ|ρmout|φ〉in.

(14)

由于在量子隐形传态中事先输入的量子态是未知的,所以应当考虑所有可能出现的输出态的保真度.因此,采用平均保真度[30]来度量量子隐形传态的保真度就非常合适,它的表达式为

(15)

4 数值模拟结果

利用非马尔科夫环境量子态扩散方法获得系统的约化密度矩阵,接着把随时间演化的密度矩阵(12)式代入隐形传态平均保真度(15)式中,经过数值模拟、计算、分析系统平均保真度的演化过程.具体讨论了环境关联系数、海森堡自旋系统中两比特间的自旋耦合系数、时变磁场、Dzyaloshinski-Moriya相互作用参数DZ等对平均保真度的影响.

图1描绘了在不同的环境关联系数γ下隐形传态平均保真度的演化情况.γ取不同的值,其他参数选取为J=2,JZ=0.1,β=0,B=0.3,ω=0.6,DZ=0.由图1可知,选择不同的环境关联系数γ对平均保真度的演化有着重要的影响.当γ=2时,系统处于马尔科夫环境中,在随时间演化的过程中系统拥有的平均保真度最小;当γ=0.3时,系统处于较温和的非马尔科夫环境,在随时间演化的过程中系统拥有的平均保真度较大,此时系统拥有的鲁棒性比系统处于马尔科夫环境时多;当γ=0.1时,系统处于强烈的非马尔科夫环境中,演化曲线显示出强烈的非马尔科夫性震荡且平均保真度最大.这种现象是因为流入环境中的信息与能量由于环境具有记忆效应而返回系统,使系统恢复到原来的状态,因此非常明显地增加了系统的保真度,使系统能够获得更多的鲁棒性.经研究表明:以最大纠缠态

图1 在不同环境关联系数γ下平均保真度的时间演化

|ψ

作为初始态时,在其他参量处于适中的情况下,γ取值越小,在演化过程中系统拥有的平均保真度越大,表明非马尔科夫特性能够增加系统的平均保真度.

图2描绘了在不同自旋耦合系数J下平均保真度的演化动力学,参数J取不同的值,其他参数选取为JZ=0.1,β=0,B=0.3,ω=0.6,γ=0.1,DZ=0.由图2可知,整体而言利用海森堡系统进行量子态传送时平均保真度都比较高.J从0.3增加到2.0时,系统失真率逐渐减小且振荡幅度变小、振荡周期增加.这表明自旋耦合系数J能够保护隐形传态.

图2 在不同的自旋耦合系数J下平均保真度的时间演化

图3描绘出在不同自旋耦合系数JZ下平均保真度的演化动力学,JZ取不同的值,其他参数选取为J=2,β=0,B=0.3,ω=0.6,γ=0.1,DZ=0.由图3可知:当JZ=0时,利用海森堡系统进行隐形传态时输入态与输出态的变化最小;当JZ逐渐增大时,输出态的变化逐渐增加,系统的平均保真度逐渐下降.因此,要使系统获得较高的保真度就必须选择较小的JZ.

图4描绘了XY面上在不同各向异性参数β下平均保真度的演化动力学,β取不同的值,其他参数选取为J=2,JZ=0.1,B=0.3,ω=0.6,γ=0.1,DZ=0.由图4可知,当γ=0.1时,也就是在强烈的非马尔科夫环境下,当β=0时,利用海森堡系统进行隐形传态时输出态的失真率最低;当β增加时输出态的失真率变大,平均保真度下降.这意味着要使系统获得较高的保真度就必须选择较小的β.

图4 XY面上在不同各向异性参数β作用下平均保真度的时间演化

图5描绘了不同磁场强度B下平均保真度的演化动力学,参数B取不同的值,其他参数选取为J=1,JZ=0.1,β=0,ω=0.6,γ=0.1,DZ=0.由图5可知,当时变磁场强度B增加时,利用海森堡系统进行隐形传态过程中输出态的失真率变小.这表明时变磁场强度B能够保护隐形传态,使系统获得较高的保真度和具有更大的鲁棒性.

图5 在不同的时变磁场强度B下平均保真度的时间演化

图6描绘了处于不同Dzyaloshinski-Moriya相互作用参数DZ下,平均保真度的演化动力学,DZ取不同的值,其他参数选取为J=1,JZ=0.1,β=0,B=0.3,ω=0.6,γ=0.1.由图6可知,在非马尔科夫环境下,Dzyaloshinski-Moriya相互作用参数DZ=0时,利用海森堡系统进行隐形传态的平均保真度最大,因此输出态与输入态就非常的相似.当参数DZ增加时,平均保真度有所下降.因此,要使系统获得较高的保真度就必须选择较小的参数DZ.

图6 在不同的Dzyaloshinski-Moriya相互作用参数DZ下平均保真度的时间演化

5 结论

本文利用文献[14]提出的非马尔科夫量子态扩散方法,通过数值计算模拟了海森堡XYZ系统的隐形传态.以最大纠缠态

作为量子信道,详细讨论了不同的环境关联系数、自旋耦合系数、时变磁场强度以及Dzyaloshinski-Moria相互作用参数DZ对于平均保真度的影响作用.经过研究表明:环境关联系数取值越小,也就是非马尔科夫特性越强时,能够非常显著地提高系统的平均保真度,从而体现出了非马尔科夫环境的优越性,这主要得益于非马尔科夫环境的记忆效应;自旋耦合系数J越大时,能够非常显著地提高系统的平均保真度;时变磁场强度B越大时,也能够显著地提高平均保真度;此外,其他参数的选取在一定程度上对平均保真度也有影响.综上所述,能够通过合理地组合各种参数,在海森堡XYZ系统中实现较高的平均保真度,达到完美的量子态传送.