陈 炜, 鲜大权, 蒲志强

(1. 西南科技大学 数理学院, 四川 绵阳 621010; 2. 绵阳师范学院 数理学院, 四川 绵阳 621010)

0 引言

非线性演化方程(NLEEs)精确解的研究在非线性科学领域具有重要科学意义[1].由它们推导出的孤波[2]、怪波[3]、Lump波[4]、Lump-Stripe混合波[5]等科学地解释了相关物理现象.对非线性演化方程精确解的研究发展了很多重要的非线性数学物理方法,如反散射法、Lie群法、Bäcklund变换法、Hirota双线性法[6-8]、Bell多项式法[9]、CRE法、变量分离法、CKdV法等[10-11].

本文考虑如下形式的(3+1)维Yu-Toda-Sasa-Fukuyama(简称YTSF)方程

(-4ut+φ(u)uz)x+3uyy=0,

(1)

其中,u=u(t,x,y,z)是尺度空间坐标x、y、z和时间坐标t的解析函数.YTSF方程是由Ablowitz和Musslimani构造的Bogoyavlenshii-Schiff方程的推广形式[12],该方程描述了两层液体的界面波[13].YTSF方程已经有很多研究,已有的研究发现该方程显示了纵横方向的两类色散性[14],有丰富的强脉冲动力学行为[15],存在类孤子解[16]、Lump解[17-18]、有理同宿解[19]、一般高阶怪波解[20]和周期孤子解[21]、交叉孤波[22]和双周期波解[23]、非行波解[24]、多波解[25]、孤子类解[26]、指数函数解、双曲函数解[27]、三角函数解[28]、周期类孤波解[29]、Lump波解[30]、非行波精确解[31-32]等.

本文将应用Lie群方法寻求方程的Lie点对称,针对对称约化方程的不同特点,分别采用Jacobi椭圆函数展开法、CRE展开法和分离变量法求解对称约化方程,进一步应用计算机数字图像技术分析所得原方程的非行波动力学行为的局域激发模式.

1 方程的Lie点对称

首先,将变换u=vx代入方程(1)并对x积分一次,取积分常数为零,则得YTSF方程(1)的势形式(pYTSF)如下:

vxxxz+4vxvxz+2vxxvz+3vyy-4vxt=0.

(2)

设方程(2)的Lie点对称为σ=σ(t,x,y,z,v,vt,vx,vy,vz,…),依据Lie群理论,σ满足以下方程

σx3z+4σxvxz+4σxzvx+2σxxvz+σzvxx+

σyy-4σxt=0.

(3)

设

σ=f1vx+f2vy+f3vz+f4vt+f5v+f6,

(4)

其中,fi(i=1,2,…,6)为变量t、x、y、z的待定光滑函数,v=v(t,x,y,z)满足方程(2).将(4)式连同方程(2)代入方程(3),则有

f1zvx4+f2zvx3y+f4zvx3t-(3f1xz+f5z)vx3+

3f4xvx2zt+3f2xvx2yz+3f3xvx2z2+…=0.

(5)

基于函数v对t、x、y、z的各阶导数的线性无关性可获得

f3=p3(t),f4=λ,f5=0,

(6)

将(6)式代入(4)式,则得方程(2)的Lie点对称如下:

p2(t)vy+p3(t)vz+λvt+

(7)

其中,pi(t)(i=1,2,3,4,5)是时间变量t的任意光滑函数.

2 方程(2)的Lie点对称约化

由于(7)式中含有5个t的任意函数,该对称的内涵很丰富,由它可得到方程(2)的一系列对称约化方程.基于约化方程的可积性,本文考虑其中的如下3种情况.

1) 取

λ=1,p1(t)=p2(t)=p4(t)=p5(t)=0,

p3(t)=p′(t).

(8)

将(8)式代入(7)式,则有

σ=p′(t)vz+v

(9)

求解方程σ=0,得方程(2)的一个Lie点对称变换如下:

ξ=z-p(t),

(10)

其中f(x,y,ξ)为待定函数.将变换(10)代入方程(2),则方程(2)约化为如下的关于函数f(x,y,ξ)的2+1维常系数非线性偏微分方程:

2fxxfξ+4fξxfx+3fyy+fξxxx=0.

(11)

2) 取

λ=1,p1(t)=0,

p2(t)=0,p3(t)=0.

(12)

将(12)式代入(7)式得

σ=v

(13)

方程σ=0的解是

v=-yp4(t)-p5(t)+f(x,y,z).

(14)

将(14)式代入方程(2),则方程约化为如下的关于函数f(x,y,z)的2+1维常系数非线性偏微分方程:

fxxxx+4fxfxz+2fxxfz+3fyy=0.

(15)

3) 取

λ=1,p1(t)=p(t),p2(t)=3t,

p3(t)=p4(t)=p5(t)=0.

(16)

将(16)式代入(7)式有

σ=2vxy+vxp′(t)+3tvy+vt+2zp″(t).

(17)

方程σ=0有解:

v=-2zp′(t)+

(18)

12fξfξz+6fξξfz-36ηfξξ+3fξξξz+4fηη=0.

(19)

以上应用方程(2)的Lie对称(7)式的3种情况(8)、(12)和(16)式,分别将方程(2)对称约化成了低一维的非线性偏微分方程(11)、(15)和(19)式.针对这3个约化方程的不同特点,下面分别采用Jacobi椭圆函数展开法、CRE展开法和分离变量法求解这3个对称约化方程.

3 对称约化方程求解

3.1 Jacobi椭圆函数展开法求解方程(11)取波变换

f=p(η),η=αx+βy+γξ,

(20)

其中α、β、γ为待定非零波参数,将(20)式代入方程(11),得函数p(η)满足的四阶非线性常微分方程如下:

6α2γp″(η)p′(η)+α3γp(4)(η)+

3β2p″(η)=0.

(21)

方程(21)对η积分一次,取积分常数为B有

3α2γp′(η)2+α3γp(3)(η)+

3β2p′(η)+B=0.

(22)

3α2γq(η)2+α3γq″(η)+

3β2q(η)+B=0.

(23)

α3γq′(η)2+2α2γq3(η)+3β2q2(η)+

2Bq(η)+2C=0.

(24)

3.1.1Jacobi椭圆正弦函数展开 设

q(η)=a1sn2(bη,m)+a0,

(25)

其中sn为Jacobi椭圆正弦函数,模m∈(0,1),a0、a1、b为待定常数,a1b≠0.将(25)式代入方程(24),取sn的各次幂项系数为零,得待定常数满足的非线性代数方程组如下:

当取积分常数为

时,方程组(26)有解:

a1=-2αb2m2.

(27)

将(27)式代入(25)式有

q1(η)=-2αb2m2sn2(bη,m)+

(28)

当m→1时,(28)式化为冲击波解

q2(η)=-2αb2tanh2(bη)+

(29)

令(29)式中b=bi,i2=-1,则(29)式化为周期波解

3.1.2Jacobi椭圆余弦函数展开 设

q(η)=a1cn2(bη,m)+a0,

(31)

其中cn为Jacobi椭圆余弦函数,模m∈(0,1),a0、a1、b为待定常数,a1b≠0.将(31)式代入方程(24),取cn的各次幂项系数为零,则待定常数满足的非线性代数方程组为:

当取积分任意常数为

时,方程组(32)有解:

a1=2αb2m2.

(33)

将(33)式代入(31)式有

q4(η)=2αb2m2cn2(bη,m)-

(34)

当m→1时,(34)式化为孤立波解

令(34)式中b=bi,i2=-1,则得周期波解

将以上所得方程(24)的解qi(η)(i=1,2,…,6)依次代入变换(20),则得约化方程(11)的解依次如下:

f1(x,y,ξ)=-2αb2m2sn2(b(αx+βy+γξ),m)+

(37)

f2(x,y,ξ)=-2αb2tanh2b(αx+βy+γξ)+

(38)

f3(x,y,ξ)=2αb2tan2b(αx+βy+γξ)+

(39)

f4(x,y,ξ)=2αb2m2cn2(b(αx+βy+γξ),m)-

(40)

f5(x,y,ξ)=2αb2sech2b(αx+βy+γξ)-

(41)

f6(x,y,ξ)=-2αbsec2b(αx+βy+γξ)+

(42)

3.2 CRE展开法求解方程(15)作变换

f=p(ξ,y),ξ=rx+sz,

(43)

其中r、s为待定非零波参数.将(43)式代入方程(15),则方程(15)约化为如下1+1维非线性偏微分方程:

r4pξξξξ+6r2spξpξξ+3pyy=0.

(44)

假设

p(ξ,y)=α+βU(τ).

(45)

同时U(τ)满足如下形式的Riccati方程:

Uτ=μ0+μ1U2,

(46)

其中,α=α(ξ,y),β=β(ξ,y),τ=τ(ξ,y)均为ξ、y的待定光滑函数,μ0和μ1为待定常数,μ1≠0.将(45)式连同方程(46)代入方程(44),则有

2τξβ(3μ1rτξξ+2βξ)+τξξβ2)U4+…=0.(47)

(48)

Riccati方程(46)当μ0μ1<0时有解:

(49)

将(48)和(49)式代入(45)式,得方程(44)的解为

C2y+C1)+C).

(50)

应用变换(43),相应获得约化方程(15)的解如下:

f(x,y,z)=

(51)

3.3 变量分离法求解方程(19)设该方程有如下形式的和式变量分离解:

f(z,ξ,η)=p(η,z)+q(ξ),

(52)

其中,p(η,z)是η、z的待定光滑函数,q(ξ)是ξ的待定光滑函数.将(52)式代入方程(19),则有

6qξξpz-36qξξη+4pηη=0.

(53)

方程(53)分离变量有

(54)

(55)

求解方程组(55)可得

(56)式代入(52)式,得方程(19)的和式变量分离解如下:

f(z,ξ,η)=C3(C5eC2η+C6e-C2η)e

其中Ck(k=1,2,…,6)均为积分常数,且

对称约化方程(11)和(15)还可用双线性法、变量分离法等不同方法求解,因此可获得更加丰富的不同解结构.但方程(19)是变系数非线性偏微分方程,它无行波解、行波法与变量分离法以外的其他方法可否求解值得进一步研究.

4 YTSF方程(2)的非行波新解

1) 将(37)～(42)式分别代入变换(10)依次获得:

βy+γ(z-p(t))),m)+ω1,

(58)

2αb2tanh2b(αx+βy+γ(z-p(t)))+ω2, (59)

βy+γ(z-p(t)))+ω3,

(60)

βy+γ(z-p(t))),m)-ω4,

(61)

βy+γ(z-p(t)))-ω5,

(62)

βy+γ(z-p(t)))+ω6,

(63)

其中

2) 将(51)式代入变换(14)有

v7=-yp4(t)-p5(t)+

C2y+C1)+C).

(64)

3) 将(57)式代入变换(18)有:

(a)C0=C7=0,C5C6=C3=τ=1时,有

2(2t3-2ty-p(t)+x)2+

C1(2t3-2ty-p(t)+x).

(65)

(b)C0=C7=0,C3=τ=1,C5C6=-1时,有

C1(2t3-2ty-p(t)+x)+C0.

(66)

5 方程(2)的动力学行为局域激发模式

本节以(64)式为代表分析方程的动力学行为局域激发模式.

1) 取C=-1,r=1,s=1,C1=1,C2=-3,p4(t)=sin(t),p5(t)=sech(t)和x=X,y=X,z=X,则在(X,t,v)空间的局域激发模式如图1所示.

(a) C3=0.1 (b) C3=1 (c) (X,t)面的等高线

图1中,冲击波与对数波在X方向复合,在时间t方向周期演化,随参数C3的增大,演化出的周期明孤子向X轴正向的冲击波波峰方向移动.

(a) C2=3 (b) C2=3.5 (c) (X,t)面的等高线

在图2(a)中,在X=-4.5左侧为明孤子,在X∈[-4,-2]演化为冲击波,随参数C2的增大波能量沿X轴正向增加,在X∈[-4.5,-4]演化出奇异波,发生能量聚集现象.C2=3.5时则在X∈[-3.5,-3]时才出现能量聚集现象,如图2(b)所示.

3) 取C=-1,r=1,s=1,C1=1,C2=-3,p4(t)=sin(t),p5(t)=sech(t)和x+y-z=X在当前(X,t,v)空间的局域激发模式如图3所示.

(a) C3=0.1 (b) C3=1 (c) (X,t)面的等高线

图3(a)中,冲击波与对数波在X轴方向复合演化,在t轴方向周期演化.C3=1时在周期冲击波的X=0附近演化出周期孤子,如图3(b)所示.

6 结束语

本文获得了含有5个关于时间t的任意函数的Lie点群对称(7),在3种情况下求得了YTSF方程的对称约化方程(11)、(15)和(19).用Jacobi椭圆函数展开法求解方程(11),获得了非行波周期解、孤子解等6个.用CRE展开法求解方程(15),获得相容Riccati方程解1个.用变量分离法求解了变系数方程(19),获得和式变量分离解2个.应用计算机数字图像技术分析了函数v8所蕴涵的YTSF方程的动力学局域激发模式.本工作的全新结果表明了YTSF方程可积性及其动力学行为特性的丰富多样性,实证了多种非线性数学方法有机结合的有效性.

该方程基于对称(7)的更多对称约化方程的可积性及相应动力学行为特征有待进一步研究.

致谢西南科技大学校级教改项目(20GJZX14)对本文给予了资助,谨致谢意.