余梦婷, 贾文志

(西南交通大学 物理科学与技术学院, 四川 成都 610031)

波导QED系统是研究单光子水平上光与物质相互作用的重要平台,在最近十多年来备受关注.这类系统是将一个或多个原子耦合到一维波导中,使原子与受限一维的连续光子模式相互作用,从而实现原子与光子之间的强耦合或远距离原子间的长程相互作用[1].经过多年研究,波导QED的应用已经得到多方面探讨,包括单光子开关和原子镜[2-3]、关联光子散射[4-5]、自组原子晶格[6-7]、波导诱导的长程纠缠[8-9]以及量子门[10-11]等.实验上,波导QED系统可以通过将超导人工原子耦合到微波传输线[12-13]、将量子点耦合到光子晶体波导[14]或将天然原子耦合到光纤[15]来实现.如果将波导设计为带宽有限且具有非线性色散关系的结构,如由紧束缚模型描述的腔阵列,由于非线性色散和带边效应的影响,散射谱将表现出与线性波导不同的现象[10,16-17].

随着微加工技术的发展,一些人工量子系统(如transmon量子比特[18])可以通过多个连接点与一维波导中的玻色模式耦合,其耦合点间距与波长相当,这类系统称为巨原子[19].由于光子在巨原子耦合点间传播的时间不可忽略,且由于巨原子几个耦合点间干涉效应的影响,导致巨原子与波导耦合将产生与小原子不同的现象,包括频率依赖的衰减率[20]、兰姆位移[21-22]和非马尔科夫动力学[23]等.

巨原子在线性波导中的单光子散射问题已经得到许多研究[22,24-25].最近,巨原子耦合到有限带宽波导系统中的光与物质相互作用引起了广泛关注[26-29].当单个巨原子与一维腔阵列波导耦合时,由于巨原子结构的影响,其散射谱表现出与小原子不同的行为[26].但是之前的研究限于巨原子和波导所有连接点耦合强度都相等的情形.基于以上背景,本文研究了单个巨原子通过2个耦合点非对称耦合到一维腔阵列波导时系统的单光子散射特性,根据推导出的散射系数,讨论了不同参数条件下反射谱的线型特征.本文的结果表明,由于巨原子超越偶极近似的特点,除了耦合点间距外,耦合强度的分布也会对系统的单光子输运特性产生显著影响.

1 系统模型和哈密顿量

图1 单巨原子非对称耦合到腔阵列波导 QED系统的示意图

H=Hc+Ha+HI,

(1)

其中,腔阵列的哈密顿量

(2)

原子的哈密顿量

Ha=ωa|e〉〈e|,

(3)

相互作用的哈密顿量

(4)

式中,c†j和cj分别是格点j处光子模式的产生和消灭算符,σ+=|e〉〈g|和σ-=|g〉〈e|分别是原子的升算符和降算符,ωc是波导的中心频率,ωa是原子的跃迁频率.原子耦合点m与波导间耦合强度为gm(m=1,2).事实上,这个公式是作了旋波近似后的结果,即已经假设了条件ωc≃ωa和ωc,ωa≫J,gm.

在单激发子空间中,系统本征态可以写为

(5)

其中,φj和fa分别表示第j个腔和原子的激发振幅.由紧束缚模型描述的腔阵列波导具有本征能量

ωk=ωc-2Jcos(k),

其中,k∈[-π,π].将上述公式代入薛定谔方程

H|ψ〉=E|ψ〉,

可以得到方程组:

(ωk-ωc)φ0+J(φ-1+φ1)-g1fa=0,

(6)

(ωk-ωc)φN+J(φN-1+φN+1)-g2fa=0,

(7)

(ωk-ωa)fa-(g1φ0+g2φN)=0.

(8)

假设光子从波导左端入射,光子激发振幅可以假设为

φ

(9)

将连续性条件φj-=φj+和上述光子激发振幅(9)代入方程组(6)～(8),可以得到反射振幅和透射振幅分别为:

r=

(10)

t=

(11)

其中,δk=ωk-ωa为入射光子与原子间的频率失谐.根据(10)和(11)式可以得到系统的反射率和透射率分别为R=|r|2和T=|t|2,且由于光子数守恒,二者满足条件R+T=1.

2 非对称耦合的散射谱特性

图2给出了当原子频率位于带心时,耦合的不对称度对反射谱的影响.图2(a)～(c)耦合点间距取偶数N=2和N=4,图2(d)～(f)耦合点间距取奇数N=1和N=3;图2(a)、(d)取耦合强度为g1=0.5J和g2=0.05J,图2(b)、(e)取耦合强度为g1=0.5J和g2=0.25J,图2(c)、(f)取耦合强度为g1=g2=0.5J;各图均取ωc=ωa=20J.

首先,对于耦合点间距N为偶数(N=2和N=4)的情形,无论2个耦合点的耦合强度相同与否,反射谱均为对称线型,除去原子波导脱耦的情形,反射极大R=1总是出现在带心处,表明原子并未因为与波导耦合而出现频率移动,如图2(a)～(c)所示.同时,对于频率接近带边δk=±2J的光子,由于非线性色散关系引起的带边效应,也会出现全反射现象,如图2(a)～(c)所示.当N=2时,随着非对称度减小,反射谱线宽逐渐减小,并在完全对称(即g1=g2)时彻底消失,在共振点δk=0处出现零反射现象,如图2(a)～(c)实线所示.这表明耦合点之间的相位延迟为π时,波导与原子之间的有效耦合随着不对称度的减少而减少,直至对称情形两者完全脱耦,光子出现完全透射现象;而当N=4时,则有相反规律,随着非对称度减小,反射谱线宽逐渐增大,在共振点δk=0处始终有R=1,如图2(a)～(c)虚线所示.

对于耦合点间距N为奇数(N=1和N=3)的情形,反射谱呈现出非对称线型.如图2(d)～(f)所示,当原子非对称耦合到波导时,原子对应的反射峰值位置并未出现在带心,其偏移量取决于原子与波导耦合产生的兰姆移动.从图2(d)～(f)还可以看出随着原子耦合的非对称度减小,原子的兰姆位移不断增加,谱线的不对称程度也不断增大.此外,对于N为奇数情形,耦合的对称与否会产生光子不同的带边行为:对于不对称耦合情形,在上下带边δk=±2J处均会出现全反射R=1;当巨原子对称耦合时,在上带边δk=2J处出现零反射现象,而在下带边出现全反射现象,如图2(d)～(f)所示.

此外,当巨原子耦合的非对称度较大时,反射谱线型随着耦合点间距增大变化不明显,呈现出和小原子散射谱类似的特征,如图2(a)和2(d)所示;而当非对称度较小或对称耦合时,随着耦合点间距增大,反射谱呈现出与小原子截然不同的线型,如图2(b)、(e)、(c)和(f)所示.

为进一步理解巨原子耦合的非对称度和巨原子结构对散射谱的影响,图3以偶数耦合点间距为例,作出了不同非对称度下耦合点间距对反射谱的影响.图3(a)耦合强度取为g1=0.5J和g2=0.05J,图3(b)取为g1=0.5J和g2=0.25J.当巨原子耦合的非对称度较大时,N=2和N=10两种耦合点间距对应的散射谱在共振点δk=0附近几乎完全重合,线型和小原子类似,如图3(a)所示.但对于较大的耦合点间距N=10,在较大失谐区域,由于相位累积效应,反射谱偏离小原子的线型,如图3(a)虚线所示.而当非对称度较小时,如果耦合点间距较大,巨原子2个耦合点间干涉效应和光子在耦合点间传播的时间延迟效应的影响变得明显,导致反射谱呈现出与耦合点间距较小时完全不同的线型,除了在共振点附近出现全反射现象,在失谐较大时也会出现多个反射率极大值点和极小值点,如图3(b)虚线所示.

3 结论

本文研究了一个巨原子通过2个连接点非对称耦合到腔阵列波导时系统的单光子散射问题.当巨原子与波导耦合的非对称度较大时,散射谱随着耦合点间距增大变化不明显,原子表现得更像小原子;而当非对称度较小甚至对称耦合时,巨原子结构对散射谱的影响变得明显,必须考虑光子在耦合点之间传播的干涉效应和时延非马尔科夫效应;如果耦合足够强,散射谱还会受到非线性色散的影响.以上因素使巨原子的散射谱呈现出与小原子不同的线型.这些结果对于单光子器件和量子通信等方面有潜在应用价值.