论旋转思想在初中数学解题中的妙用

2023-08-31林艳娜

数理化解题研究·初中版 2023年8期

关键词：解题初中数学

摘要：文章对旋转思想在初中数学解题中如何妙用进行讨论，同时分享部分解题实例.

关键词：旋转思想；初中数学；解题

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2023）23-0024-03

收稿日期：2023-05-15

作者简介：林艳娜（1982.3-），女，福建省福州人，本科，中学一级教师，从事初中数学教学研究.

在初中数学解题教学中，教师需指引学生结合具体题目巧妙应用旋转思想，使其尽快找到解题的切入点，简化解题过程，使学生高效解答试题.

1 合理运用旋转思想，解决线段长度问题

教師在平常的解题教学中应当指引学生合理运用旋转思想，对题目中的图形进行旋转和变形，使其明确旋转后的变化情况，让他们快速确定解题方案，解决线段长度问题^［¹^］.

例1 如图1所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，AE＝10，求CE的长度为多少？

分析利用旋转思想，把△BCE围绕点B进行顺时针旋转90°，刚好可以得到一个正方形，如图2所示，然后根据三角形全等的性质找到边与边之间的关系，即可求出CE的长度.

解将△BCE围绕点B顺时针旋转90°得到△BGM，这两个直角三角形是全等关系，C、E两点分别旋转至G、M点处，BC、CE、BE分别旋转至BG、GM、BM，∠CBG＝∠BGD＝90°，由此得到正方形BCDG，∠ABE＝∠ABM＝45°，△ABE≌△ABM，那么AM＝AE＝10，设CE是x，则有AG＝10-x，AD＝12-（10-x）＝2＋x，DE＝12-x在直角三角形ADE中，AE²＝AD²＋DE²，代入相关数据后得到10²＝（2＋x）²＋（12-x）²，解之得x₁＝4，x₂＝6，故CE的长度是4或6.

2 利用旋转思想，解决线段最值问题

通过对初中数学计算线段最值类问题的研究与梳理，发现利用旋转思想往往能够起到意想不到的效果，学生运用旋转思想以后找到点的特殊位置，根据图形形式与勾股定理进行求解，让他们顺利解决线段最值问题^［²^］.

例2 如图3所示，以边长是4的正方形ABCD的C点为圆心，半径是2画圆，点P是圆C上面的任意一点，让点P围绕点D逆时针旋转90°得到点Q，把BQ连接起来，那么BQ的最大值是什么？

分析在本题中，线段围绕一个点进行逆时针旋转90°，根据图形可知∠CDP＝∠ADQ，可得出△AQD≌△CPD，把CP与AQ连接起来，可得AQ的长是定值2，点Q的轨迹是一个圆，即可求出BQ的最大值.

解将CP与AQ连接起来，根据旋转可知∠QDP＝∠QDC＋∠CDP＝90°，根据正方形的性质可得AD＝DC，∠ADQ＋∠QDC＝90°，则∠CDP＝∠ADQ，△AQD≌△CPD，AQ＝CP＝2，点P在圆C上运动时，Q点也会随之运动，不过AQ保持2的定值始终不变，据此可知点Q的运动轨迹是以点A为圆心的圆，当BQ有最大值时，点Q、A、B共线，且点A位于点B与Q之间，这时BQ＝AB＋AQ＝4＋2＝6.

3 利用旋转思想，解决线段比值问题

处理一些涉及图形旋转类的初中数学题目时，教师可引导学生利用旋转思想，找到旋转前后图形线段、角度之间的内在联系，以此确定解题思路，从而求出线段比值^［3^］.

例3 如图4所示，四边形ABCD是一个边长为2的菱形，已知一个内角是72°，该菱形围绕点D旋转得到菱形A′B′C′D′，AB与B′C′相交于点P，把BB′连接起来，当五边形A′B′BCD′是正五边形时，求BP：AP的值.

分析因为旋转以后得到的是一个正五边形，可知内角是108°，旋转后线段长度与首尾顺序均不发生变化，结合菱形、等腰三角形以及相似三角形的性质进行解题.

4 利用旋转思想，解决角度计算问题

针对角度计算类试题，初中数学教师应指导学生巧用旋转思想，通过对原图形的旋转与变化把一些条件整合到一起，分析图形的特殊角度及位置，使学生结合有关公式进行计算，从而把复杂、陌生的问题变得简单与熟悉^［⁴^］.

例4 如图5所示，点P是等边三角形ABC内的一点，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的值.

分析当学生看到题目中出现3、4、5的数据时，很容易想到勾股定理，是同一个直角三角形的三条边，但是在本题中并没有位于同一个直角三角形内，此时他们可想到应用旋转思想，把这三条边集中到同一个直角三角形里面.

解先让△APB围绕点A按照逆时针方向旋转60°后得到△ADC，连接PD，如图6所示，则有AD＝PA＝3，DC＝PB＝4，∠PAD＝60°，得到一个等边三角形PAD，则PD＝PA＝3，∠ADP＝60°，在△PDC中有PD²＋DC²＝PC²，这表明△PDC是一个直角三角形，且∠PDC＝90°，由此得到∠APB＝∠ADP＋∠PDC＝60°＋90°＝150°.

5 利用旋转思想，解决面积计算问题

在初中数学解题训练中，求解图形面积类的试题离不开旋转思想的辅助与支持，可以把零散的图形集中起来.处理这类试题的关键在于确定好旋转对象与角度，教师在平常的解题训练中需加强指导，让学生准确把握旋转对象和角度，帮助他们轻松解决面积计算问题^［⁵^］.

例5 如图7所示，在正方形ABCD中有一点E，AE＝1，BE＝25，DE＝32，把AE延长同CD相交于点F，求四边形BCFE的面积.

分析本题可使用旋转思想，将△AED围绕点A顺时针旋转90°，然后把两个三角形拼接起来，根据题意能够判定出拼接的三角形又由两个直角三角形构成，结合正方形的性质用勾股定理等即可完成解题.

旋转思想在初中数学解题中可谓是有着极为广泛的应用空间，是一种极为重要与常用的数学思想方法，教师应围绕旋转思想专门开设习题训练活动，指导学生学会如何妙用旋转思想解决数学问题，使其充分感受到旋转思想在解题中的妙用，继而提高他们的解题水平^［6^］.

参考文献：

［1］

陈志高.论旋转思想在初中数学解题中的妙用［J］.试题与研究，2023（06）：19-21.

［2］马雄政.初中数学解题教学中几何变换法的有效应用［J］.数理天地（初中版），2022（13）：77-78.

［3］吴明艳.浅谈初中数学解题教学的有效策略［J］.智力，2020（23）：61-62.

［4］贺群.初中数学解题能力巧提升：旋转中的不变性问题［J］.学苑教育，2020（05）：52.

［5］宋景华.例谈初中数学解题训练教学［J］.数理化解题研究，2020（02）：14-15.