西华师范大学 李 倩 冯长焕

1 原题呈现

题目如果a,b,c均为正数, 则

该不等式中有三个变量,因此本题属于三变量不等式证明题.首先应该仔细观察该不等式的特点、左右两边变量的关系,然后将其进行合理的变形、转化,进而证明不等式.

2 解法探寻

在不等式求解的过程中,当不等式两边出现复杂的关系式时,要尽量向相对简单的关系式转化,这样有助于找到二者之间的关系,从而通过关系式的整合找到解题思路.因此,现探讨如下思路.

思路一:观察左右两边,左边存在b+c,a+b,a+c的组合关系式,为消去左边分母,对左边关系式进行转化.

思路二:对含有分母的项进行调整.

证明：由基本不等式,可得

思路三:利用柯西不等式证明不等式成立.

证明：由柯栖不等式,得

所以有

思路四:利用向量证明不等式.

向量作为高中数学的重要知识点,不仅可以给学生带来新的认识,还可以为解题提供新的思路.证明不等式时,经常需要通过一些技巧对不等式进行变形处理,否则会很难证明.运用向量知识可以将问题简单化,容易证明结果.柯西不等式是利用向量证明的,由此为解决该问题提供了新的思路与方法.设向量

于是,有

(a+b+c)2

我们从四种角度出发,得到了四种不同的解题思路.在解题时,从多种角度考虑问题,可以帮助学生培养创造性思维.创造性思维的核心是发散性思维.发散性思维方式是指遇到问题时,能从多角度、多层面、多结构去思考、寻找答案,既不……