荣仲　刘爱莲

［摘  要］ 文章尝试通过对一道教材中课后习题进行充分挖掘，以期广大师生在教学与学习中能够重视回归课本、挖掘教材，通过“一题多解，多解归一”理解数学问题的本质，通过“衍生类比，一题多变”提高教学与学习效率，帮助学生摆脱“题海”.

［关键词］ 回归课本；挖掘教材；知识迁移

高考命题的一个重要规律是：高考试题在课本中都能找到试题源点. 由于高考命题的一个不变的原则是“源于课本，又高于课本”，因此在教学与学习中，师生必须重视课本知识的回顾、整理、挖掘. 本文以新人教A版必修第二册中的一道课后向量习题作为载体回归课本、挖掘教材，目的是让广大师生学会立足教材，用心领会教材的精髓，挖掘出例习题设计的内在教育价值，重新认识课本知识，进而充分运用、挖掘、延伸、改造，有效提高教学与学习的效率，实现知识整合、解法迁移，提升学生综合运用知识的能力.

回归课本，温故知新

课本中的例习题都是经过编者反复论证、精心设计的，具有典型的范例作用，蕴含着基本的解题思想和解法，具有很高的教学价值，教师教学与学生学习时都要注意回归课本，温故知新.

案例 （新人教A版必修第二册第24页“拓广探索”第24题）如图1所示，在☉C中，是不是只需知道☉C的半径或弦AB的长度，就可以求·的值？

根据向量数量积的定义，需要用向量的长度来表示余弦，显然构造直角三角形即可，因此取弦AB的中点M，或者由圆心O向弦AB作垂线，则·=

2. 笔者认为，不仅该习题的结论具有挖掘价值，而且该习题本身亦如此：与的数量积是多少？

一题多解，多解归一

从近些年高考的内容来看，高考注重考查学生掌握基础知识的深度和广度，试题源于课本而高于课本. 因此，在日常教学中，尤其在高三数学复习中，用好课本、用活课本，深入挖掘它们的知识点，显得尤为重要. 笔者对例1中出现的边与弦构成的向量的数量积做了如下改编，在读者面前展示“一题多解，多解归一”.

评析 变式2是邻边的情况，由余弦定理可得与例5一样的条件——已知三角形三边，结合常用的面积关系可得内切圆的半径；接下来是“构造垂直，分解向量”的操作方式——找切线垂直，分解向量，達到触类旁通的效果.变式3是对边的情况，可见外心、内心均在此结构中（留给读者自己体会），即处理三角形顶点和外心、内心构成的向量与三角形的边向量的数量积，处理的本质都是“构造垂直，分解向量”. 对于变式4，笔者更欣赏解法2和解法3，它们利用三角形垂心的性质得到一些夹角的关系和一些向量的垂直关系，充分体现了“构造垂直，分解向量”便于计算的作用.

本文从一类特殊向量数量积的表示及应用谈述课本中的习题潜力无限，广大师生在教学与学习时一定要回归课本，不要轻视课本，要提高思维深度去认识课本.笔者对一道课后练习题的挖掘，也充分再现了“一题多解、多变”练思维，“多题、多解归一”悟本质的思想. 期望通过本文，读者能够所有感悟，找到正确的“回归课本，挖掘教材”的方式. 在教学与学习时要注重回归课本，夯实基础，要吃透课本，用活课本，尤其对课本中典型的例习题要加以延伸、拓广、变形、发散，做到举一反三、触类旁通. 充分利用课本例习题的价值（推广结论，探究解法，构建知识模块，提炼通性通法），培养学生思维的灵活性和应变能力，提高学生的解题能力，回避“题海战术”，提高学生的学习效率.

作者简介：荣仲（1982—），本科学历，中学高级教师，重庆市数学学会竞赛委员会委员，中学数学奥林匹克一级教练员，重庆市高中数学青年教师优质课竞赛一等奖.