王 雪, 姜金平, 王思博, 魏 佳

(延安大学 数学与计算机科学学院, 延安 716000)

0 引 言

考虑带线性记忆的Kirchhoff型耦合吊桥方程

(1)

指数吸引子的存在性。其中α,β>0,k2(u-v)+是恢复力,k表示弹性系数,μ表示记忆核,函数(u-v)+=max{(u-v),0},外力项g1(x),g2(x)∈L2(Ω),Ω是2内光滑边界∂Ω的有界开区域。对于吊桥方程和指数吸引子的一些问题已被很多学者研究[1-18];1990年,Lazer等首次提出耦合吊桥方程[1]

2018年,贾澜等利用算子分解的方法研究了带强阻尼的Kirchhoff型吊桥方程

指数吸引子的存在性[3]; 2019年,王美霞等通过紧性平移定理及构造三元解相空间研究获得了带记忆项的Boussinesq方程

指数吸引子的存在性[4]; 2022年,王彩霞等利用能量估计和算子分解的方法研究了带记忆项和线性阻尼的Kirchhoff梁方程

指数吸引子的存在性[5]。Kirchhoff型耦合吊桥方程比单个吊桥方程更加全面的考虑了其桥面的可拉伸性和主链的运动情况,但是对于Kirchhoff型耦合吊桥方程指数吸引子的研究很少,故基于以上文献的启发,本文构造三元解相空间将算子分解的方法应用于耦合类的方程中,对恢复力k2(u-v)+进行新的处理,研究得到了带线性记忆的Kirchhoff型耦合吊桥方程指数吸引子的存在性。

1 预备知识

首先需将问题(1)转化成确定的自治系统,根据文献[7-8]的启发引入历史位移变量

η=ηt(x,s)=u(x,t)-u(x,t-s),γ=γt(x,s)=v(x,t)-v(x,t-s), (x,s)∈Ω×+,t≥0

则

(2)

边值条件为

u(x,0)=u0(x),ut(x,0)=u1(x),ηt(x,0)=0,η0(x,s)=η0(x,s)

v(0)=v(L)=0, (x,t)∈Ω×+,γ=γ(L)=0, (x,t,s)∈Ω×+×+

v(x,0)=v0(x),vt(x,0)=v1(x),γt(x,0)=0,γ0(x,s)=γ0(x,s)

其中

不失一般性,定义Hilbert空间族Vs=D(As/4),定义其范数和内积为

用||Au||表示D(A)的范数,其中

显然,

式中:

分别是H、V1的对偶空间。特别地,有紧嵌入Vs+1⊂Vs和Poincare不等式

式中λ1是Δ2在D(A)中的第一特征值。

设方程(1)中的非线性函数f∈C(,)满足条件

(H2)|fi(s)|≤C(1+|s|p),∀s∈,p≥1,i=1,2

由条件(……