考虑热膨胀与带隙的点阵超材料多目标优化设计①

2023-07-08吕树辰许卫锴

固体火箭技术 2023年3期

王伟,吕树辰,许卫锴,*,李洁

(1. 宿迁学院产业技术研究院,宿迁 223800;2. 沈阳航空航天大学,辽宁省飞行器复合材料结构分析与仿真重点实验室,沈阳 110136)

0 引言

声子晶体(Phononic crystal, PnCs)[1-3]是一种通过类比光子晶体而产生的人工超材料,其带隙产生的原理主要分为布拉格散射和局域共振理论。声子晶体因其显著的色散特性(如带隙性能)在过去的几十年间引起了广泛关注,并因此逐渐成为控制机械波传输的选择。近年来,很多学者在考虑材料带隙的同时也开始关注其他特性,如轻量化[4]、热膨胀性能[5-6]、带隙调控性能[7]等。然而,由于声子晶体的带隙计算较为复杂,很难通过基础的参数调试获得最佳的带隙需求,因此,对具有带隙性能的材料与结构进行优化设计,成为当前研究的一个热点。例如,SIGMUND等[8]基于有限元方法,首次利用拓扑优化方法研究了二维声子晶体的最大带隙设计。随后,声子晶体的拓扑优化设计迅速得到了广泛研究。借助于遗传算法,GAZONAS等[9]设计了二维声子晶体结构。钟会林等[10]将PWE和有限元法相结合,对二维固-固声子晶体进行了优化设计。此外,基于遗传算法的声子晶体多目标优化也相继发展,例如,HUSSIEN等[11-12]基于非支配排序遗传算法(NSGA-II)对目标频率的一维声子晶体进行了优化。XU等[13-14]则利用NSGA-II对由三种组分材料构成的声子晶体进行了多目标优化设计,并得到了一些有意义的结果。

材料与结构的热膨胀性能研究也已取得了很多有效的进展,尤其对于处在恶劣温度环境下的材料,往往需要特定的热膨胀性能。近年来,不断有新颖的热膨胀结构和材料被提出以实现特定需求的热膨胀系数,如零膨胀或极大的正/负膨胀。例如,LEHMAN等提出了一种三角形超材料单胞(Lehman-Lakes单胞),这种单胞由双材料弯曲肋条铰接而成,在实现特殊热膨胀系数的同时能够保持较高的刚度[15-16]。为克服其不易制备的缺点,ZHANG等[17]将铰接改进为固定连接(JTCLM单胞),结构的刚度特性可通过合理的材料/尺寸设计得到。

尽管特定热膨胀材料的研究已经取得了大量的成果,但多数研究仍局限于对其热膨胀系数的设计,对于材料其他的性质即多功能化的分析仍存在不足。随着科技的发展,结构与材料在服役过程中往往需要应对多种物理场的作用,特别是在航空航天领域,较大的温差和高超声速下的振动和噪声对结构和材料提出了新的挑战。因此,在考虑特定热膨胀材料的同时研究其带隙隔振特性成为当前重要的科学问题[18]。刘成龙、许卫锴等[19-20]分别对拉伸主导型和弯曲主导型的热膨胀点阵超材料进行了带隙特性的初步研究,结果表明这些构型能够在一定频率范围内产生带隙,且结构的几何参数对带隙具有显著影响。BAI等[21]提出一种新型四韧带反手性点阵超材料,可实现热膨胀与泊松比的调控,并讨论了其带隙特性随几何参数的影响。然而,上述这些超材料尽管表现出了一定的带隙特性,但并未表现出明显的分布规律,难以得到特定需求的热膨胀/带隙性能的多目标优化构型。因此,对该类点阵超材料进行多目标优化设计成为一个重要课题。

本文采用NSGA-II对JTCLM的热膨胀系数和带隙特征进行了多目标优化,并给出了考虑热膨胀系数和最大相对带隙的帕累托最优解。针对零/正/负热膨胀系数,分别讨论了结构参数与最大相对带隙的关系,此外,还研究了更换不同材料组分对优化结果的影响。

1 模型与方法

1.1 模型介绍

本文所取模型为文献[17]中的JTCLM单胞,如图1所示。单胞肋条由两种不同材料组成,肋条二(红色线条)局部覆盖在肋条一(蓝色线条)上。其中,L、L0分别为肋条一和肋条二的轴向长度;t1、t2分别为肋条一和肋条二的厚度;θ、R分别为弯曲角度和弯曲半径,代表了双层部分的弯曲程度。假设α1和α2分别为材料1和材料2的CTE,并令q弯曲肋部分与总长度的比,q=L/L0;n材料1和材料2的弹性模量之比,n=E1/E2;m材料1和材料2的厚度之比,m=t1/t2,则单胞的材料和几何参数一旦选定,其等效热膨胀系数可由q、m、n、α1、α2、θ六参数确定,其热膨胀系数的计算公式如式(1)所示[17]

图1 JCTLM的结构示意图Fig.1 Schematic illustration of the JTCLM

(1)

当组分材料被选定后,其热膨胀系数α1、α2,模量比n也将确定。此时单胞的形状将成为带隙特性的主要影响因素。在实际应用中,由于JTCLM单胞组成的点阵材料只在x-y平面内体现零膨胀特性,在z轴方向上不能实现零膨胀功能,因此本文只考虑二维带隙即x-y平面内带隙。

文中选用了三种材料进行组合搭配,分别是因瓦(Invar)、铝(Al)以及钢(Steel)。其中Invar是一种热膨胀系数很低的材料;Al和Steel具有较高的热膨胀系数,且Steel具有更高的强度。三种材料的相关热/力参数如表1所示。

表1 材料参数Table 1 Parameters of the constituent materials

1.2 弹性波方程和带隙计算

线弹性及各向同性的无源介质中的弹性波控制方程为[22-23]

{[λ(r)]+2μ(r)(·u)}-×

[μ(r)×u]+ρω2u=0

(2)

式中ω为角频率;r(x,y,z)为位置矢量;u(r)为位移矢量;=(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)为微分算子;λ(r)和μ(r)分别为材料的拉梅常数;ρ(r)为材料密度。

对于此周期性结构,材料的参数具有相同的周期性。根据Bloch定理,可以得到位移矢量为

=ei(k·r-ωt)uk(r)

(3)

式中k=(kx,ky)为第一布里渊区的波矢量;G为无量纲空间坐标逆晶格矢量。

由于结构具有平移周期性,可以选择其维格纳原胞代表整个结构,如图2(a)所示。根据晶体能带理论,任选一个倒格子点为原点,做原点和其他所有倒格子点连线的中垂面,这些中垂面将倒格子空间分割成许多区域,其中最靠近原点的闭合区域称为第一布里渊区。利用平移对称性可进一步得到不可约布里渊区。对于JTCLM,可以取第一布里渊区和不可约布里渊区如图2(b)所示。将波矢k沿不可约布里渊区的边界求解,可计算声子晶体的带隙分布。

图2 (a)JCTLM晶格的维格纳原胞;(b)晶格的第一及不可约布里渊区Fig.2 (a) Wigner-seitzprotocells of JTCLM;(b) The first and irreconcilable Brillouinzones of lattice

求解控制方程(2)涉及到复杂的本征频率问题,由于在处理复数特征值方面所具备的优势,选择COMSOL Multiphysics作为有限元求解工具,可以通过方便地应用Bloch周期边界条件实现对式(2)的求解[14]。

1.3 NAGA-II与目标确定

遗传算法已被广泛地应用于各领域中的拓扑优化设计问题。特别是由于遗传算法不依赖于目标函数的梯度及敏度,能够从多个并行点找到最优解,因此特别适合复杂波动问题的优化求解。本文利用NAGA-II算法对JTCLM进行多目标优化设计,以求得到同时具有优异带隙性能又兼顾热膨胀特性的点阵超材料构型。这是一个典型的多目标优化问题。可以将问题表述为

Minimize:F1=Pen1(x),F2=Pen2(x)

(4)

其中,F1和F2分别定义为优化目标的惩罚函数。在本文中,目标一选为最大相对带宽[14]:

(5)

目标二则是特定的热膨胀系数。NAGA-II算法的执行过程如下:

(1)随机生成NP个染色体的初始种群P,并在染色体的末端加上目标函数值,以便于计算和数据处理;创建空集合Q和S。

(2)利用非支配排序对初始种群进行排序,这将为每个个体返回两个指标:等级和拥挤距离。

(3)对种群中的个体进行二进制锦标赛选择操作,选择具有更好适应度的个体作为父代个体;通过执行二进制交叉并使用具有一定概率的多项式变异算子来形成子代种群Q。

(4)合并父代和子代种群并记为S=P∪Q,作为生成下一代的组合种群。

(5)再次基于非支配排序对组合种群S进行排序,并根据拥挤度距离选取染色体进入新一代种群P;清空Q和S。

(6)重复步骤(2)至(5),直至满足终止标准。

有关NSGA-II的详细介绍见文献[24]。

2 算例与讨论

2.1 算例一:零膨胀与最大相对带隙

零膨胀效应对提高结构和材料的热几何稳定性有重要意义,在热膨胀材料的研究中备受关注。令Invar作为材料一而,Al为材料二,首先选择零膨胀系数为第二个目标:

(6)

图3 展示了NSGA-II生成的帕累托最优解。结果显示,随着实际与目标热膨胀系数差值的增大,最大相对带隙也将随之增大,这说明两个目标之间存在制约的关系。为了更加明显的体现目标之间的趋势,选择A、B、C三个结构进行进一步分析,其目标值和几何参数如表2所示,可以看出其主要的区别在于q和θ的改变,而t1和t2保持一致。图4给出了三个结构的带隙图和透射率。

图3 算例一的帕累托最优解与A结构的构型图Fig.3 Pareto optimal solutions of Case 1 and the selected structure A

表2 算例一中A、B和C结构的几何参数及其CTE和RBGWTable 2 Geometric parameters of structures as well as CTE and RBGW in Case 1

(a) Structure A (b) Structure B (c) Structure C图4 算例一中三个结构(A,B,C)的带隙图和透射率(带隙用灰色表示,并给出相应的值)Fig.4 Three selected structures (A, B, C) in Case 1 and their band gap diagrams and transmittance curves(The band gap is shaded in grey and the corresponding values are given)

由图4可以看出,从A到C的带隙逐渐加大,且与文献[20]相比,能够在较低的频率范围保证较宽的带隙。这表示优化结果均具有良好的带隙性能。随着q和θ的增大,意味着可视为散射体的双层部分质量或密度增大,从而使得带隙频率下移。然而,过大的q和θ将使得热膨胀系数从A到C逐渐背离设定的目标值,甚至在B结构之后的构型不能再看做是零膨胀材料。

为了验证优化结果的有效性,图4中还对选中的结构沿ΓX和ΓM方向进行了透射率的计算,透射率的频响函数为[13]

(7)

式中 |Ut|和|Ui|分别为透射波和入射波的振幅。

结果显示,透射率的结果与带隙完全对应,证明了计算结果的准确性。

值得注意的是,根据式(1),负热膨胀性能和零膨胀性能的材料搭配一致,因此负膨胀材料的设计可采用相同的方法,只需修改目标二中的目标CTE数值。

2.2 算例二:正膨胀与最大相对带隙

根据式(1),正膨胀与零/负膨胀的结构可由互换两种材料获得,即令Al作为材料一,而Invar为材料二。正膨胀虽然是比较常见的性能,但是JTCLM的设计可以实现常见材料难以实现的大膨胀性能。例如,选取正的热膨胀系数为3×10-5,则目标二变为

(8)

图5显示了生成的帕累托解集和所选取的结构A的构型示意图。优化结果趋势与零膨胀一致,依旧存在两个目标之间的制衡问题。其中,选择的A、B、C三个结构的目标值和几何参数如表3所示,其带隙图如图6所示。可以看到正膨胀的带隙相对于零膨胀有一定的提升。这是由于材料在调换之后,密度较大的Invar成为散射体的构成部分,这使得结构更容易产生带隙。同样的,增大q和θ可进一步提高材料的最大相对带隙,但其对热膨胀系数的制约需要根据真实工况对两个目标的要求进行平衡。为了节省篇幅,这里没有给出透射率的曲线。

图5 算例二的帕累托最优解及A结构的构型图Fig.5 Pareto optimal solutions of Case 2 and the selected structure A

表3 算例二中结构的几何参数以及CTE和RBGWTable 3 Geometric parameters of structures as well as CTE and RBGW in Case 2

(a) Structure A (b) Structure B (c) Structure C图6 算例二中三个结构(A,B,C)的带隙图(带隙用灰色表示,并给出相应的值)Fig.6 Three selected structures (A, B, C) in Case 2 and their band gap diagrams(The band gap is shaded in grey, and the corresponding values are given)

2.3 算例三:考虑不同材料的负膨胀与最大相对带隙

当构成JTCLM的组分材料不同时,材料整体的热膨胀和带隙性能都会发生变化,因此选取不同的材料进行优化分析也具有重要的意义。例如,为提高材料的强度,可将材料一和材料二分别选取为Invar和Steel。目标一仍然是最大相对带隙,目标二则选择为-2×10-5,有

(9)

图7显示了生成的帕累托解集和所选取的结构A的构型示意图。A、B、C三个结构的目标值和几何参数见表4,其带隙结果见图8。可以看出,优化结果的趋势与前两个算例类似。此外,材料2由Al替换为Steel后,材料的刚度得到了增强,但同时Steel的密度也远大于Al,即作为散射体的双材料部分质量也得到了增加,最终优化得到的结构带隙频率范围较铝有了一定的下降,位于0.4～0.8kHz附近。

图7 算例三的帕累托最优解与A结构的构型图Fig.7 Pareto optimal solutions of Case 3 and the selected structure A

表4 算例三中结构的几何参数以及CTE和RBGWTable 4 Geometric parameters of structures as well as CTE and RBGW in Case 3

(a) Structure A (b) Structure B (c) Structure C图8 算例三中三个结构(A,B,C)的带隙图(带隙用灰色表示,并给出相应的值)Fig.8 Three selected structures (A, B, C) in Case 3 and their band gap diagrams(The band gap is shaded in grey, and the corresponding values are given)