朱晓鹏， 陈 磊, 黄 俊

(1.安徽华电工程咨询设计有限公司，合肥 230022； 2.北京航空航天大学 航空科学与工程学院，北京 100191；3.北京航空航天大学合肥创新研究院，合肥 230012)

1 引 言

复合材料具有比强度高和比刚度大等优点，广泛应用于航天和航空工业领域。众所周知，对于很多复合材料的宏观解，如低阶频率和模态，可以使用等应变模型或等应力模型[1]以及其他均匀化方法[2]，但相对于宏观应力分析，细观分析要复杂很多。为了在计算精度和效率之间达到平衡，各种多尺度方法相继提出，如数学均匀化方法MHM[3,4]、广义有限单元方法GFEM[5,6]、多尺度有限单元方法MsFEM[7,8]、异类多尺度方法HMM[9,10]以及多尺度特征单元方法MEM[11,12]，在这些方法中，数学均匀化方法是具有代表性的方法，文献[13-21]都作了详细的阐述；文献[22-28]讨论了数学均匀化方法的摄动阶次和使用的单元阶次对计算精度的影响，在单胞上施加四边固支边界条件求解其影响函数控制方程，结果显示对于一维结构是精确的，但对于二维结构计算精度不尽人意。

本文在文献[22,24]的基础上详细研究了单胞影响函数控制方程在周期复合材料结构中的真实边界条件，并以此为标准检验数值计算中施加的周期边界条件计算精度，提出更为合理的二维结构单胞周期边界条件。

2 数学均匀化方法矩阵列式

基于微观周期性和单胞域的一致性假设，均匀化理论将异质边界值问题分解为单胞(微观)问题和结构问题(宏观)，二维周期性复合材料结构的控制方程为椭圆型偏微分方程：