裴伟

【摘要】  新高考中数学试题的综合性、实践性更强，这也对学生的解题思维能力提出了全新的要求.很多高中生在日常解题中，会出现思路不清、解题步骤混乱的情况，这降低了学生的学习效果.化归思想可以让学生将复杂的问题变成自己熟悉、简单的问题，有助于学生解题能力提升.本文就高中数学解题中化归思想的具体应用策略进行分析.

【关键词】 高中数学；化归思想；解题

化归思想主要指学生在进行数学问题处理时，对复杂、抽象的问题进行简单化的处理，是一个化繁为简的过程.学生在学习中需要找出最佳问题解决思路，实现对问题的高效处理.［1］化归思想属于数学学习中十分重要的思想，其可以引领学生构建完善的知识体系，并灵活地运用多元知识来处理数学问题，有助于学生数学解题能力提升.

1 新高考下高中数学教学要求

从新高考命题情况看，更加关注学生的创新意识、综合能力培养，这也对高中数学教师日常教学活动提出了全新的要求.新课程标准中指出在数学教学中需以学生自身发展为关键，关注学生的综合能力、创新意识培养，教师要引领学生关注知识体系的构建，注重基础性知识、方法的获取，并且要充分培育学生的实际问题解决能力，促使学生能更好地应对新高考要求.［2］

数学学科本身具有很强的逻辑性，高中数学教师在教学过程中应该特别关注学生的逻辑思维能力发展情况，改变以往学生由于数学知识认知不足而出现的问题.很多高中生面对高度抽象的数学课程，会出现畏惧心理，加上高考中容易出现紧张心理，发挥会更加不稳定.所以在新高考下，高中数学教师不仅要关注学生对数学基础知识的掌握程度，更要培育学生的实际问题解决能力，同时教师还要做好学生的心理承受力培养，指引学生更加沉稳地处理数学问题.

2 化归思想的内涵

化归思想是高中数学解题中应用相对比较广的一种手段，其强调学生在学习时应该在已经掌握的数学理论基础上，通过特殊的转变方式，将复杂的数学问题转变成简单、基础的数学问题，这样可以很好地提高学生的数学问题解题效率.［3］

化归思想是贯穿于整个高中阶段的数学思想，数学知识本身具有极强的抽象性，知识体系紧密关联，大部分数学问题都能做到从难到易的转变.化归思想则是帮助学生对数学问题进行转化的重要工具，其本身对学生的数学基础有很高要求，所以在高中数学教学中，教师应该引领学生掌握扎实的数学基础，以此更好地将化归思想融入数学知识体系中，便于学生应用自身所学知识解决问题.

高中数学教师在解题教学过程中，不能只关注学生的解题数量，更要注重学生本身的解题思维能力的发展.化归思想本身是一个实用性极强的解题思维，其在方程计算、函数、数列等问题中有很多应用，化归思想具有直观、形象的特征，能让学生更加准确地处理问题.如空间几何类的习题中涉及高维几何问题，这些问题对学生本身的空间想象力有很高要求，学生即便具有良好的空间想象力，在做题时依旧需要耗费大量的时间及精力.［4］对此教师就可以引导学生通过化归思想，实现高维几何问题向低维几何问题的转变，使得学生能顺利地完成解题.

化归思想的核心在于将未知化成已知、将复杂化成简单、将陌生化成熟悉，让学生能根据自己已经掌握的知识、条件进行问题处理.

3 高中数学解题中应用化归思想的原则

高中数学教师引领学生利用化归思想解决数学问题时，还应该坚持相应的原则，以更好地发挥化归思想作用.［5］

首先是熟悉化原则.面对复杂的数学练习题，为了确保学生具备良好的解题思路，找准解题方向，教师就需要指引学生通过科学的方式来降低数学问题难度.在化归思想下，教师引领学生坚持熟悉化原则，实现陌生问题向熟悉内容的转变，然后要求学生以自身所学的知识为对照，对熟悉、陌生的问题进行类比，找出两者的异同，实现问题的顺利解决.

其次是简单化原则.有的高中数学题看起来十分繁杂，题目中罗列有很多条件，而出题人也会对简单的问题进行复杂化处理，实现对学生逻辑思维能力的考查.对于这类问题，教师可以指引学生利用化归思想，坚持简单化原则，对数学题目进行拆解，将陌生的问题转变成多个简单的问题，实现抽象问题向直观问题的转变，然后让学生对各个层次的简单问题进行梳理，得出问题的最终答案.

最后是坚持正难则反原则.高中阶段的数学问题复杂程度比较高，有的问题可以利用化归思想中的简化原则进行处理，但是也有的问题存在难以转变成熟悉知识的情况.在这种情况下，教师就可以指引学生坚持化归思想中的“正难则反”原则，反向对问题展开讨论，借助逆向思维思考并处理问题，特别是在处理“不存在、至少”等问题时，通过反向思考对“存在、至多”进行考虑，能获得意想不到的效果.［6］

4 高中数学解题中化归思想的应用策略

高中数学教师在解题中引领学生积极地应用化归思想，可以更好地整理數学知识脉络，让学生能准确找到数学知识的相互关联，高效推进数学问题转化，促进学生严谨的数学思维的形成，有助于学生数学成绩与数学素养的同步提升.［7］

4.1 动静转化

在数学解题教学中，动、静之间的转化属于化归思想最常见的应用表现，尤其是在函数解题中，通过函数将生活中的变量关系反映出来，实现对事物的运动、变化规律进行研究.在函数知识学习中，教师需要指引学生对变量的关系进行深度分析，并借助化归思想实现静态问题向动态问题的转变，让学生能从运动观点解决函数问题，提升学生解决实际问题的能力.［9］

例如 在对数函数学习中，经常会涉及比较大小的题目，教师指引学生掌握化归思想可以更加轻松地处理这类问题，借助化归思想实现动静转化，能在很大程度上简化题目的难度，让学生快速掌握函数解题方法，尤其是在处理选择、填空等问题时，能让学生在短时间内得出正确答案，提高了学生数学学习自信心.

4.2 等价与非等价转化

高中数学教学中运用化归思想时，还会涉及等价转化、非等价转化的情况.在等价转化过程中，学生需要全面了解問题的前因后果，确保转化的准确性.一般来说处理立体几何问题时，针对对称、翻折等问题，教师可以指引学生利用曲直转化的方式，把立体问题转变成平面问题，实现快速准确地解题.

例1 直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知∠BCA =90°，A1B1的中点是M，A1C1的中点是N，如果CC1 = CA =BC，求BM与AN所成角的余弦值.

在本题中，如果学生直接从正面展开求解，会出现没有解题思路的情况.对此教师指引学生对其进行转化，尝试将直三棱柱转变成正方体，然后通过向量法对异面直线夹角进行求解.根据题目中的信息，对直三棱柱进行补充，构建空间直角坐标系，如图1所示，设正方体棱长是2，可以得出A、B、M、N等几个点的坐标，然后写出向量BM、AN的坐标，通过向量知识求出向量BM与向量AN的夹角余弦值.

教师引领学生利用化归思想进行等价转化时，需要保持逻辑的准确性，如函数定义域及值域求解，需要结合其概念，转变成不等式组，针对方程根的分布，对不等式进行求解.

4.3 一般和特殊转化

高中数学解题中，有一些难度比较高的问题需要做到特殊与一般的相互转化，借助特殊值、特殊情况完成解题.在解题过程中学生应该综合考虑自身已经获取的数学知识，并分析一般条件、特殊条件，进行针对性转变.一般情况是对特殊情况进行深度总结及概括，具有较强的普遍性，高中生在解题中可以对数学题目进行分析，找出特殊情况，在特殊基础上开展一般化总结.

例2  函数f（x）=x2+x， x≤0，ax2+bx，x＞0是奇函数，试求直线x=0，y=x与函数F（x）=bx+3ax上任意点P的切线所形成的图形面积大小.

在本题中，结合题目给出的条件可以知道，坐标系围成的图形面积是一定的，与P点位置关系关联不大.对此，可以去掉P点，确定其特殊位置，然后结合函数式中的a与b的值完成求解.整个解题环节利用化归思想，做到特殊与一般的转化，使得解题过程更加简单，学生也可以利用自身学到的知识，对问题进行简单化的处理，促进了学生的数学信息提取分析能力，有助于学生掌握多元化的解题方式，对学生数学学习效率提升有良好帮助.

4.4 精简解题过程

高中生在处理实际问题时，教师还要指引学生善于思考，通过合理的思维及方式，对解题过程进行精简，优化学生的解题过程.

例3 已知直线L：x12+y8=1，P是直线L上的一个点.椭圆x224+y216=1，点R是OP与椭圆的交点，同时点Q在OP中满足OQ·OP=OR2，如果P在直线L上移动，试求出点Q的轨迹方程.

在本题中，学生需要具有明确的解题思路，如果学生先根据题意，假设出P、R、Q三点坐标，使用三点共线条件分析三个点的坐标关系，然后依据题意得出关于x、y的方程，再进行后续解题.这样的解题过程会十分复杂，同时有大量的计算，学生有可能出现解题错误的情况.对此教师就可以引领学生挖掘题目中的隐含条件，对原题进行化简.结合题目中OQ·OP=OR2的信息可知，三条线段呈等比数列形式，利用化归思想，将二维数学题转变成平面问题，进行解答.

假设P、R、Q三点坐标是（xp，yp）、（xR，yR）、（x，y），

当x、y不同时为0，P点不在y轴，点R在椭圆上，

依据O、Q、R三点共线得出

x2R24+y2R16=1，xRyR=yxx2R=48x22x2+3y2，y2R=48y22x2+3y2，

点P在直线L上，同时O、Q、P三点共线，

得出xp12+yp8=1，ypxp=yxxp=24x2x+3y，yp=24y2x+3y.

.若P点位于y轴，以上皆成立.

结合OQ·OP=OR2，

得出x2+y2·x2p+y2p=（x2R+y2R）2，

代入上两个式子中，

化简得出24x2（x2+y2）2（2x+3y）2=48（x2+y2）2x2+3y2，

由于x与xp同号，或y与yp同号，

同时2x+3y＞0，

从而得出Q点的轨迹方程是

（x－1）252+（y－1）253=1.

高中数学教师在引导学生解题时，如果遇到复杂的问题，难以按照常规思路进行解题，那么就可以从化归的角度入手，对复杂的数量关系进行简单化处理，这样学生更容易找到解题思路，学生的解题能力也会因此得到提升.

5 结语

综上所述，新高考背景下，在高中数学解题中应用化归思想，可以让学生对数学解题方式进行创新，实现化简为繁，将抽象的数学问题用形象化的方式表现出来.在化归思想指引下，学生的数学解题活动会更加轻松，并且学生能做到综合运用各种知识解决问题，对于学生数学解题质量提升有极大帮助.

参考文献：

［1］黄小良.例谈高中数学解题中的化归思想［J］.数理化解题研究，2022（01）：83-85.

［2］高银萍.高中数学解题过程中化归思想的应用策略分析［J］.考试周刊，2021（96）：55-57.

［3］王勃.化归思想在高中数学解题过程中的应用［J］.吉林教育，2021（15）：75-76.

［4］刘旭东.化归思想在高中数学解题过程中的应用分析［J］.新课程，2021（04）：144.

［5］黎燕芳.高中数学解题中的化归方法及其教学研究［J］.新课程，2021（04）：68-69.

［6］吴阳锋.高中数学解题中化归思想的有效运用［J］.数学教学通讯，2020（33）：52-53.

［7］孙毅.化归思想在高中数学解题过程中的应用分析［J］.数理化解题研究，2020（28）：85-86.

［8］蔡娟兰.浅议化归思想在高中数学解题过程中的应用［J］.黑河教育，2020（07）：18-20.