摘 要：在初中数学中，存在着大量的抽象、复杂的数学难题，有的必须采用换元法才能顺利求解。初中数学教师要深刻领会换元法思想，灵活地把握“化归”“转化”的思维，激发学生参与学习的积极性，促进学生思考，提高其数学学习水平。文章对换元法思想在初中数学教学中的应用原则进行了简单分析，探讨了在初中数学教学中应用换元法思想的具体策略，以进一步提升数学教学质量，发展学生的数学综合思维。

关键词：换元法思想；初中数学教学；应用策略

作者简介：韦小云（1982—），女，广西壮族自治区南宁市第三中学。

换元法思想是初中数学中非常重要的一种思想，它可以减少学生学习的困难，提升学生的逻辑思考能力和解题能力。新课程改革为中学数学教育带来了新的发展契机，让换元法的使用范围越来越广，为学生解决问题提供了更快捷的途径，对提高学生的数学综合素质具有重要意义。然而，在教学实践中仍存在着一些误区，比如有的教师讲解的换元法不够准确，有的教师忽略了换元后新变量的取值范围，有的教师只讲授换元理论而忽略了实践，等等。在实际教学中，教师应从学生的实际出发，积极培养学生的“转化”“化归”的思维，并通过设计多种形式的数学实践活动，把换元法思想融入课堂教学中，引导学生灵活地解决各种数学问题，增强学生学习的主动性和自觉性，从而加深学生对数学问题的辨证认识。

一、换元法思想在初中数学教学中的应用原则

（一）适用性原则

换元法在实际运用中有一定的讲究，并非所有的数学问题都适合使用換元法。有的时候，学生会盲目地进行换元，导致解决问题的效率下降。在日常的学习中，常采用换元法解决因式分解或不等式证明、求解问题，其基本思想是用新的变量代替原来的变量，从而解决问题。教师可以运用换元法的思维进行教学，并逐渐将换元法的概念渗透到课堂中，使学生能熟练运用换元法，并能把复杂的问题进行合理的分解、转换，使之变成简单的问题。随着我国教育改革的不断深化，中考数学试题的考试范围越来越广，很多题目都可采用换元法解答［1］。因此，教师应引导学生进行归纳、整合，提升学生的数学学习能力，从而达到素质教育的目标。

（二）结构性原则

换元法是解决问题的关键手段，在应用的过程中应注意问题的结构性。每一道数学题都有其内在的构造，我们只有掌握了构造的规律，才能使换元法的应用更加得心应手，事半功倍。针对数学题的结构特点，我们可以采用整体换元法、三角换元法、均值换元法等方法，不同的换元法在不同类型的题中具有不一样的作用。例如，当我们碰到一个根号问题时，可以采用三角变换的方法，把它转换成一个三角函数求最值的问题。但如果我们碰到的是奇偶性或者定义域等函数问题，则不能采用换元法，因为它会使原始函数的自变量发生变化。换元法的运用一般分为四个阶段：一是设置新元，引入合适的辅元；二是换元，用一个新的元素取代原来的一个旧的元素；三是解新元，将数量关系具象化；四是对原始问题中的未知元素进行求解，以增强问题的解析性。

（三）等价性原则

在解决数学问题时，我们要善于运用变量替代，使数学问题显示出其基本性质。在数学教学中，教师应注意等价性原则，即新变量的取值范围应与原始变量保持一致，否则会影响解题的效果。在平时的训练中，教师可以增加一些有针对性的练习，指导学生进行自主换元和等效变换。教师要根据学生的解题思路来引导和指正，这样才能更快地发现问题所在，有利于发展学生的创造力。等值观念在数学知识系统中有举足轻重的作用，教师要引导学生认识等价性原则，从多个方面了解问题的实质，渐进、持久地渗透等价思想。

二、换元法思想在初中数学教学中的应用策略

（一）低次换高次

方程是中考数学的必考内容。在初中阶段，学生所接触到的方程有一元一次方程、一元二次方程、分式方程、二元一次方程等。然而，在考试中，为考验学生的数学思考能力，往往还会出现解高次方程的问题。尽管数学教材中没有介绍解高次方程的内容，但只要学生仔细想一想，用换元法就能得到答案。利用已有的数学知识，把高次方程转换成低次方程，这就是换元法思想最好的体现。此类题型对提高学生的解题准确度和数学学习兴趣是很有帮助的［2］。在证明不等式时，有时需要换元，有时还要用到三角函数，教师要提醒学生注意题中的圈套，防止错位换元，影响解题速度。换元的关键在于设置新元，这要视题目具体情况而定。学生要注意观察数学公式，用另外一个未知数代替原来的未知数，这样就可以更好地解决问题。在教学实践中，教师常常会发现一些学生死记硬背换元方法，对所学的换元策略进行了简单重复的运用，却不能对新的换元策略进行有效的探索。因此，在教学中，教师要让每次换元都能促使学生动脑思考，引导学生把握住问题的关键点，把问题的隐含条件在脑中清楚地呈现出来，让学生彻底领悟换元法思想，从而在考试中应用自如。

（二）已知换未知

在数学中，转换现象随处可见。在中学数学教学中，教师要让学生把不确定的数量转换成已知的数量，并能熟练地使用等值替换。这样，学生在遇到陌生的数学难题时，可以转换思维，将陌生的问题转换为学过的问题，这不仅活跃了学生的解题思维，而且还能降低出错的概率。数学主要以数量关系与空间形态为主要研究对象，当学生在实际生活中碰到无法确定的量与量之间的关系时，可以采用换元法来解决，把握“不变量”，并通过它们之间的对应关系，找出解决问题的线索。在审题过程中，学生要找到一种等量关系，把一个特定的例子变成一类数学问题。有些学生在遇到数学题太长、太复杂时，会产生抗拒心理，没有耐心。对于这种情况，教师要做好心理辅导工作，多和学生沟通，听取他们对于换元法的理解，让他们更好地认识换元法的使用。换元法并非单一存在，有时还可结合数形变换、分类讨论、配方法等。通过将抽象的数量关系与直观的具体图象相结合，能使学生在每一道题中都获得新鲜的体验，从而产生学习的欲望和动力。教师应根据学生的实际情况，设计各种形式的数学练习，培养学生灵活的换元思维，使其掌握各种换元方法，从而达到最佳的解题效果［3］。

（三）逆向换正向

有的学生在解题时往往只会使用固定的思路，一旦遇到新类型的题目，就会陷入困境，想不出解决问题的方法。对于这种情况，教师应该鼓励学生转变思维模式，突破传统思维的桎梏。借助逆向思维解决问题，可让学生茅塞顿开，同时提高他们思维的严谨性。特别是在解答区间问题时，学生若从正面找不到突破口，则可以尝试从反面加以思考。教师可以让学生制作一份“错误笔记”，把他们在日常学习中所遇到的逆向换元方法整合起来，并在此基础上进行反复的练习，以提高自己的数学能力。在新课程背景下，对学生进行逆向思维的培养具有重要意义。这不仅可以使学生更好地理解新的观念，帮助学生掌握教材，还能启发学生的思维，帮助他们解决难题。逆向思维与换元思维可以同时渗透到代数题的训练中。代数题的传统求解方法是寻找未知数值，再把它引入一个未知的方程中，最后得到一个结果。有些时候这样做既费时又麻烦，而利用逆向思维，从相反的角度来思考代数问题，可以节约大量的时间。

（四）数值换图形

图形题是中学数学中常见的一种类型题，具有较高的难度，要求学生具有较好的数学基础和较强的解题能力，能够将数值与图形进行合理转换，这样有利于简化抽象问题，并把握转换思想的本质。“以形助数”“以数辅形”是中学数学教学中普遍采用的教学方法。比如，在抛物线知识的教学中，涉及数形换元，教师可以为学生提供一些转换思路，帮助学生加深对所学知识的印象。在考试中遇到可使用换元法的图形题时，学生应灵活地进行换元，并根据已知的数值关系迅速找到解题的突破口。在教学过程中，教师要让学生逐步掌握正确的解题思路，不断提升自己的思维水平。对于一些比较复杂的图形题，教师可以组织学生开展学习活动，发挥集体的智慧，以小组协作的方式来解决问题。活动结束后，教师对学生小组协作的全面评估，有利于培养学生学习数学的自信心和团队协作能力［4］。

（五）一元换多元

在求解方程的过程中，学生遇到更多的是从多元到一元的转换。如将三元一次方程组转换为一元一次方程，最常用的方法就是将三元一次方程组变成二元一次方程，然后再变成一元一次方程，这样的步骤可以让求解过程更清楚。数学的本质是思维方式，在教学中，是思维将各种数学知识连接起来的。教师要坚持新课改的理念，以例题的形式展示数学思维，帮助学生克服对陌生题型的恐惧心理，增强其对数学的认识和应用。方程式在教学中能起到承前启后的作用，为后期函数的学习奠定基础。教师要引导学生整理相关的数学知识，优化解题思路，逐步减少困难，巧妙地求解问题，让换元法在实际中得到充分的应用。教师可搜集一元一次方程和二元一次方程的经典题型，让学生去发掘它们之间的联系和差异，分析如何灵活地进行换元，从而完善自身的数学知识体系。教师也可以与学生分享一些数学竞赛的题目，如怎样用换元法来解决多元不定方程等，让学生通过对不同换元法进行思考，激发创造性思维，从而增强数学课堂的凝聚力和吸引力。换元法能使公式简化，符合学生的理解方式，使运算更加简单、快速，并能提高学生思考的能力。例如，分式方程是初中数学中的一个问题，很多学生对其感到陌生，无法灵活地解决相关难题。在教学中，教师可引导学生通过换元把分式方程转换成整式方程，提高学生的实际应用能力，使其更好地理解这类问题。教师还要提醒学生对最后得出的答案进行检验，一是验证其解是否为分式方程，二是验证其与题意的一致性。

（六）平面换空间

初中生的空间想象、抽象思维能力尚不健全，在分析立体几何问题时往往会有一些疏漏。因此，教师要善于利用换元法进行教学，引导学生将空间问题转变为平面问题。对未知变量进行巧妙的置换，有利于立体几何问题的解决。在中学数学教材中，多处内容反映了空间与平面的转换，因此，教师要对教材进行深入的研究，归纳其转化的形式与规律。教师可利用多媒体设备向学生演示三维立体图的转换过程，引导学生注意几何图形的构造特点，通过选取适当的变元来增强学生的空间想象力，使其自主地发现各种图形之间的关系，提高数学的学习效率。在平时的教学中教师会发现，有的学生已经学会把空间问题转变成平面问题，但因为不会计算，所以一直得不到答案。教师应引导学生发散思维，学会灵活地使用三角函数、均值不等式、坐标法、导数等数学工具，以求出问题的解。换元法思想具有多维、多向的特点，需要学生多思考、多探究、多尝试，学习使用“小题大做”“大题小做”的解题方式，以更好地发展能力［5］。

结语

综上所述，换元法是初中数学教学的一个重要组成部分，它可以简化数学知识，让学生更好地解决问题。初中数学教师要勇于创新，在教学过程中引导学生学会应用换元法，建立数学基础的思维方式，并在不断积累经验的过程中，逐步提升自己的数学综合素质。同时，教师要积极探讨换元法在实际数学问题中的运用，以帮助学生更好地解决各种不同的数学问题，激发学生解决数学问题的兴趣，为学生今后的发展打下坚实的基础。

［参考文献］

李元杰.初中数学解题中换元法例题解析［J］.数理天地（初中版），2022（18）：29-30.

陳铤.如何用换元法求三类函数的值域［J］.语数外学习（高中版中旬），2022（9）：53-54.

洪联平.妙用换元法化简二次根式［J］.中学生数学，2022（18）：9-10.

李光寰.换元法思想在初中数学教学中的应用［J］.学周刊，2022（23）：54-56.

孟小娟.怎样用换元法解初中数学题［J］.语数外学习（初中版），2021（12）：26-27.