马玉花,顾海波,李 宁

(新疆师范大学数学科学学院,新疆 乌鲁木齐 830017)

分数阶微积分是应用数学中最重要的领域之一,它将现有的整数阶的微分算子推广到任意阶的微分算子。近年来,关于分数阶微分方程问题引起了人们广泛的关注。分数阶微分方程应用于反常扩散、流体力学、生物医学、最优控制等领域。相比起整数阶的微分算子,分数阶微分算子具有全局性,从而可以准确描述客观世界的发展规律。

伴随着自然科学及社会科学发展、复杂工程应用需求的增加,分数阶微分方程已不能满足人类探索发展规律的需求,而微分包含可以看作是分数阶微分方程的推广,它可以对复杂的现象进行更加准确的刻画。对于微分包含解的存在性一直是人们研究的热点问题,同时人们已经不再满足去寻找微分包含的一般解,而是想找到更具有现实意义的正解。有关分数阶微分包含的理论研究有很多[1-13]。在现有的成果当中,有关分数阶微分包含正解的存在性定理的结果并不是很多[8-9],因此,对于微分包含具有多个正解的存在性研究是必要的。

文[6]中,作者结合变分方法和临界点理论,给出了下面一类带奇异项的非局部问题正解的唯一性。

其中Ω是RN(N≥3)是一个有界开区域且具有光滑边界阶∂Ω,a,b≥0且a+b>0,m>0,λ≥0,1

文[7]中,作者利用不动点定理,给出了下面一类非线性加权问题正解的存在性。

文[8]中,作者通过多值映射的压缩不动点定理,给出了下面非线性分数阶微分包含正解的存在性定理。

受以上结果的启发,本文将研究如下带有积分边值的分数阶微分包含多个正解的存在性问题

(1)

本文具体安排如下:在第1节中,我们给出了相关预备知识,包括问题描述、基本定义和相关引理,以及本文所需的条件假设;在第2节中,我们利用不动点定理给出了(1)存在多个正解的充分条件;在第3节中,举出一个例子说明主要结果的有效性;在第4节中,对文章进行了总结。

1 预备知识

这部分我们将介绍一些相关的基础概念及定义,并介绍了一些对后续正解的存在性定理非常重要的引理。首先,我们将介绍一些关Caputo-Hadamard分数阶微积分相关的内容,

定义1.1[14]连续函数x:[1,+∞]→R的α>0阶的Hadamard分数阶积分为

定义1.2[14]连续函数x:[1,+∞]→R的α>0阶的Caputo-Hadamard分数导数为

(1)若对于任意的x∈X,F(X)是闭的(凸的),则称多值映射F是闭的(凸的)。

(3)若对于X上所有的有界子集B,F(B)是相对紧的,则多值映射F是全连续的。

定义1.3[15](X,‖·‖)是一个赋范线性空间,多值映射Θ:X→p(X)。若对每一个x0∈X,集合Θ(x0)是X的一个非空闭子集,对于X中的每个包含Θ(x0)开子集B,存在x0的一个开邻域V,使得Θ(V)⊆B,则称Θ在X上是上半连续的。

定义1.4若对于每个x∈C([1,e],R),称SF,x是F的选择集合,定义为:

SF,x={f∈L1([1,e],R):f∈F(t,x(t)),对于几乎处处的t∈[1,e]}

定义1.5假设0<α≤1,λ≥0,d>0,x∈C([1,e]),满足

并且存在f∈SF,x,使得x(t)满足积分方程:

则x是以下边值问题的唯一解

定义1.6[15]设X为Banach空间,C是X的闭凸子集,Pcp,c(C)表示C中所有非空紧凸子集集合。对于任意有界子集Ω⊂X,它的非紧测度为γ(Ω)=inf{d>0:Ω可以被有限多个直径小于等于d的集合覆盖}

定义1.7[15]多值映射F:[1,e]×R→P(R),若满足:

(1) 对于x∈[0,∞),t→F(t,x)是可测的,且对几乎所有的t∈[1,e],x→F(t,x)是上半连续的,则F是Caratheodary的。

(2) 如果对每一个δ>0,存在φδ∈L1([1,e],R+),使得对几乎所有的‖x‖≤δ和t∈[1,e],都有‖F(t,x)‖=sup{|w|:w∈F(t,x)}≤φδ(t),则F是L1-Caratheodary。

定义1.8[15]设X为Banach空间,若对于映射T:E⊂X→X,T连续且满足条件:对每个有界子集Ω⊂E,均有γ(TΩ))≤k(Ω),则称T为k-集压缩映射(k≥0)。对于k<1的k-集压缩映射称为严格k-集压缩映射。特别地,全连续映射是0-集压缩映射,因此是严格k-集压缩映射。

引理1.2[16]设X为Banach空间,令F是一个多值映射,满足

F:[1,e]×R→Pcp,c(C)是L1-Caratheodary

令Θ:L1([1,e],R)→C([1,e],R)是一个连续线性算子,则

Θ。SF:C([1,e],R)→Pcp,c(C([1,e],R)),x→(Θ。SF)(x)=Θ(SF,x)

是C([1,e],R)×C([1,e],R)中的一个闭图算子。其中C([1,e],R)表示[1,e]→R上的连续函数。

引理1.3[16]若Θ是上半连续当且仅当Θ存在一个闭图象,即xn→x*,yn→y*,yn∈A(xn),有y*∈A(x*)。

(1)对∀x∈∂EΩr∩C,x∉F(x);

(2)对∀h∈F(x),x∈∂EΩL∩C,有‖h‖>‖x‖;

(3)对∀h∈F(x),x∈∂EΩr∩C,有‖h‖≤‖x‖;

(4)对∀h∈F(x),x∈∂EΩQ∩C,有‖h‖≥‖x‖。

其中,Ωr={x∈E:‖x‖

为方便下文讨论,给出下列记号:

设E=(C[1,e],‖·‖),范数定义为

显然K是E上的一个锥。

定义算子

A:K→Pcp,c(C[1,e]),

下面给出本文假设条件如下:

(H1)函数F:[1,e]×[0,∞]→Pcp,c([0,∞))是L1-Caratheodary,并且有非空的紧凸值。

(H2)存在一个不减函数φ:[0,∞]→(0,∞)和一个函数p∈L2([1,e]→R+),使得

‖F(t,x)‖p:sup{|w|:w∈F(t,x)}≤p(t)φ(‖x‖)

(H3)存在η∈C[1,e],η(t)>0,有

‖F(t,x)‖q:inf{|w|:w∈F(t,x)}≥η(t)φ(‖x‖)

(H4)存常数r>0,使得

(H5)存在ξ∈[1,e],0

(H6)存在ζ∈[1,e],0

为了得到微分包含边值问题(1)的正解的存在性定理,先证明下面的引理:

引理1.5假设条件(H1)和(H2)成立,则算子A是一个上半连续的全连续算子。

证明第1步,A将E的有界集映射成为E中的有界集。

令Br={x∈E:‖x‖≤r}是K中的有界集。对于t∈[1,e],x∈Br时,f∈SF,x,令

则对t∈[1,e],由条件(H2)有

故当t∈[1,e]时有

从而A(Br)是一致有界的。

第2步,A是将有界集合映射到等度连续集。

令t1,t2∈[1,e]且t1

利用Lebesgue控制收敛定理知,当t1→t2时,有

因此,当t1→t2时,|h(t2)-h(t1)|→0,即A是等度连续的。由Ascoli-Arzelad定理,A是全连续的。

第3步,A存在一个闭图,令xn→x*,hn→h*,hn∈A(xn),要证h*∈A(x*)。对于hn∈A(xn),则存在fn∈SF,xn,使得

定义线性算子:

Θ:L1([1,e],[0,∞))→C([1,e],[0,∞))

又因为hn(t)∈Θ(SF,xn),xn→x*,hn→h*。由引理1.2知,Θ是闭图象算子,故h*∈Θ(SF,x*),即存在f*∈SF,x*,满足

再由引理1.3知,A是上半连续的。

综上,A是一个上半连续的全连续算子。

2 主要结果

定理2.1若假设条件(H1)-(H6)都成立,则(1)至少存在两个正解。

证明由引理1.5知A是一个上半连续的全连续算子,下面只需要证明A满足引理1.4的所有条件,即可证明(1)至少存在两个正解。

首先证明,A:K→Pcp,c(K),任给的x∈K,h∈A(x),那么存在w∈SF,x,有

又因为F:[1,e]×[0,∞)→Pcp,c([0,∞)),因此,当t∈[1,e]时

故有h∈K。即A:K→Pcp,c(K)。

下证,对∀x∈∂EΩr∩K,x∉A(x)。用反证法,假设存在x∈∂EΩr∩K,t∈[1,e],使得x∈A(x),‖x‖=r,存在w∈SF,x,利用Hölder不等式,有

故与假设(H4)矛盾。

其次证,对∀h∈A(x),x∈∂EΩL∩K,有‖h‖>‖x‖。任意x∈∂EΩL∩K,则‖x‖=L。任意x∈K,存在w∈SF,x,当t∈[1,e],使得

由条件(H3)和(H5)可知

再证对∀h∈A(x),x∈∂EΩr∩K,有‖h‖≤‖x‖。任意x∈∂EΩr∩C,则‖x‖=r。任意x∈K,存在w∈SF,x,t∈[1,e],使得

由条件(H2)和(H4)可知

由ξ∈[1,e]的任意性有‖h‖≤‖x‖。

最后证明,对∀h∈A(x),x∈∂EΩQ∩K,有‖h‖≥‖x‖。任意x∈∂EΩQ∩K,则‖x‖=Q。任意x∈K,存在w∈SF,x,t∈[1,e],使得

由条件(H2)和(H6)知,

由ζ∈[1,e]的任意性有‖h‖≥‖x‖。

3 例子

为了说明我们主要结果的有效性,下面给出一个简单的例子。

(2)

其中α=0.7,λ=0,d=1。F:[1,e]×R→Pcp,c(R)的多值映射:

对于f∈F(t,x),有

因此,

计算知,当r>2.20时,满足

若取r=2.21,存在ξ∈[1,e],当0

存在ζ∈[1,e],0

从而边值问题(2)满足引理2.1的所有条件,故根据定理2.1,(2)至少存在两个正解。

4 总结

本篇文章结合前人有关分数阶微分方程正解的存在性研究,将单值推广到多值,再利用多值映射的压缩或拉伸不动点定理,研究了一类带有积分边值条件的Caputo-Hadamard型分数阶微分包含正解的存在性问题,最后举出一个简单的例子说明结果的有效性。正解相比较一般的解更具有实际意义,而实际生活中问题复杂且受到多种因素的干扰,对于分数阶微分包含模型的建立和正解的存在性研究造成很多困难,因此如何更有效的寻找到分数阶微分包含的正解有待进一步的探究。