■河南省许昌高级中学 胡银伟

一、选择题(本题共12 小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。)

1.已知直线l1若直线l2与l1垂直,则直线l2的倾斜角是( )。

A.150° B.120° C.60° D.30°

2.在等差数列{an}中,设其前n项和为Sn,若a3+a11=4,则S13=( )。

A.4 B.13 C.26 D.52

3.根据圆的性质我们知道,过圆O外的一点A可以作圆O的两条切线,切点为B与C,我们把四边形OBAC称为圆O的“切点四边形”。现已知圆O:x2+y2=1,圆外有一点A(1,2),则圆O的“切点四边形”的周长为( )。

A.2 B.4 C.6 D.8

6.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,a2a4=9,9S4=10S2,则a2+a4的值为( )。

A.6 B.9 C.10 D.30

7.由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界,该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品。若将如图1所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线1(a＞0,b＞0)下支的一部分,且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为60°,则该双曲线的离心率为( )。

图1

A.2 B.4 C.8 D.9

A.1 011 B.1 013

C.2 021 D.2 023

10.若M,N为圆C:x2+y2-4x-4y+7=0上任意两点,P为直线3x-4y+12=0上一个动点,则∠MPN的最大值是( )。

A.45° B.60° C.90° D.120°

11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段AD的中点,设平面A1BC1与平面CC1E的交线为m,则直线m与AC所成角的余弦值为( )。

二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共计20分。)

14.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”。在非等边△ABC中,|AB|=|AC|,点B坐标为(-1,1),点C坐标为(3,-3),且其“欧拉线”与圆M:x2+y2=r2(r＞0)相切,则△ABC的“欧拉线”方程为____,圆M的半径r=___________。

15.在棱长为2 的正方体ABCDA1B1C1D1中,分别取棱AA1,A1D1的中点E,F,点G为EF上一个动点,则点G到平面ACD1的距离为_____。

16.设椭圆=1(a＞b＞0)的左焦点为F,下顶点为A,若存在直线l与椭圆交于B,C两点,且△ABC的重心为F,则直线BC的斜率k的取值范围为____。

三、解答题(本大题共6小题,第17题10分,其他题每题12分,共计70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。)

17.(本小题10分)已知圆C1:x2+y2+2x-6y+5=0,圆C2:x2+y2-10x+5=0。

(1)判断圆C1与圆C2的位置关系;

(2)若过点(3,4)的直线l被圆C1、C2截得的弦长之比为1∶2,求直线l的方程。

18.(本小题12分)已知F(1,0),直线l:x=-1,P为平面上的动点,过点P作l的垂线,垂足为点Q,且

(1)求动点P的轨迹C的方程。

(2)过点F的直线与轨迹C交于A,B两点,与直线l交于点M,设证明λ1+λ2定值,并求|λ1λ2|的取值范围。

19.(本小题12分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且an+1=Sn+2(n∈N*)。

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)在an与an+1之间插入n个数,使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列,若求证:1≤Tn＜3。

20.(本小题12 分)已知点M为圆O:x2+y2=1 上的动点,点F1(-2,0),F2(2,0),延长F1M至N,使得|MN|=|F1M|,线段F1N的垂直平分线交直线F2N于点P,记P的轨迹为Γ。

(1)求Γ的方程;

(2)若直线l与Γ交于A,B两点,且OA⊥OB,求△OAB面积的最小值。

21.(本小题12分)如图2,PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,AB∥CD,PQ∥CD,|AD|=|CD|=|DP|=2|PQ|=2|AB|=2,点E,F,M分别为AP,CD,BQ的中点。

图2

(1)求证:EF∥平面CPM;

(2)求平面QPM与平面CPM夹角的大小;

(3)若N为线段CQ上的点,且直线DN与平面QPM所成的角为求点N到平面CPM的距离。

(1)求椭圆C的方程;

(2)若椭圆C的右顶点为D,点M,N在椭圆C上,且满足直线DM与DN的斜率之积为证明直线MN经过定点,并求△DMN面积的最大值。