■甘肃省白银市第一中学 胡贵平

定性和定量分析成对数据的统计相关性是统计学中的重要内容,也是高考的热点,现对高考中常见题型进行剖析,归纳整理。

一、散点图判断相关关系

例1(2020年全国Ⅰ卷理科数学)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到如图1的散点图。

图1

由此散点图,在10℃至40℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是( )。

A.y=a+bxB.y=a+bx2

C.y=a+bexD.y=a+blnx

解析:由散点图分布可知,散点分布在一个对数函数的图像附近,因此,最适合作为发芽率y和温度x的回归方程类型是y=a+blnx。故选D。

二、一元线性回归方程模型

(1)求家庭的月储蓄y关于月收入x的线性回归方程y=bx+a;

(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关;

(3)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄。

故所求回归方程为y=0.3x-0.4。

(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b=0.3＞0),故x与y之间是正相关。

(3)将x=7代入回归方程,可以预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7-0.4=1.7(千元)。

例3(2014年新课标Ⅱ卷理数改编)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如表1所示。

表1

(1)求y关于t的线性回归方程;

(2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2023年农村居民家庭人均纯收入。

所以y关于t的回归方程为y=0.5t+2.3。

(2)因为b=0.5＞0,所以2007 年至2013年该区人均纯收入稳步增长,每年增加0.5千元。预计到2023年该区人均纯收入y=0.5×17+2.3=10.8(千元)。因此,预计到2023年该区人均纯收入约10.8千元。

三、一元线性回归方程性质

例4(2014年湖北文数)根据如下样本数据(表2)得到的回归方程为=bx+a,则( )。

表2

A.a＞0,b＜0 B.a＞0,b＞0

C.a＜0,b＜0 D.a＜0,b＞0

解析:作出散点图,如图2所示。

图2

故选A。

例5(2013年福建文数)已知x与y之间的几组数据如表3所示。

表3

图3

四、相关系数r

例6(2017全国新课标Ⅰ卷文数)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm)。表4是检验员在一天内依次抽取的16 个零件的尺寸。

表4

(1)求(xi,i)(i=1,2,…,16)的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|＜0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)。

(i)从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?

由于|r|＜0.25,因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小。