王沐蓉

(湖南工业大学理学院,412007)

一、前言

在数学解题的过程中,我们常常会通过某种中介工具去构建该题与一种已知的、熟悉的数学模型之间的联系,使之能够通过这个模型来解答问题．为了解决一个难题,经常会先证明几个重要的结论作为“引理”,这种“引理”其实也是模型,它往往是问题解决中的思考方向和关键工具[1].建立模型的主要目的就是为了解决问题,而建立模型可以缩短问题的推理过程,甚至能引导学生更直接地发现问题的本质[1].教师要在主要知识点通过多种方式来培养学生的模型思想.

二、 数学模型思想相关概述

数学模型是数学知识与方法的范式总结，是为了方便解决问题而提炼出来的.通俗地说,数学模型可以是形状、公式、定理、概念、法则等．在义务教育阶段,用字母、数字及其他数学符号所建立起来的不等式、代数式、方程等都是数学模型．数学模型思想本质上是培养学生灵活运用数学知识解决实际中的问题的能力,是一种数学的基本思想．

数学教学应结合具体教学内容,采用‘问题情境-建立模型-解释、应用与拓展’的模式展开,让学生经历知识的形成与应用过程…[2].模型思想可以让学生在学习的过程中形成解决问题的一种思维方式,也可以启发学生的解题方向,不致于让他们在碰到新颖题目时无从下手．数学模型最终能使学生理解概念的本质.教师要让学生逐步地从学习模型思想,到自己归纳、总结模型,最后使自己体会建立模型的乐趣,从而提高他们学习数学的兴趣和应用意识．

三、数学模型思想在初中数学解题中的应用

下面我们例谈数学模型思想解决常见实际问题．

1.构建函数模型

函数是整个初中的重点内容,指因变量随着自变量的变化而变化,它反映了现实世界众多的关系和规律．例如计划决策,方案投资、居民用度等,都可建立函数模型加以解决．其基本步骤是发现函数模型→建立函数模型→求解函数模型→确定实际问题的解．

例1某市为了鼓励居民节约用水,采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费,月用水量不超过20立方米时,按2元/立方米计费;月用水量超过20立方米时,其中的20立方米仍按2元/立方米计费,超过部分按2.6元/立方米计费．小明家小明家第二季度用水情况如下表:

月份四月份五月份六月份用水量152124

小明家这个季度共交水费多少元?

解① 分析问题:根据题意,采用分段计费,应该分别建立模型.由于不同的用水量收费标准不同,所以可建立分段函数模型．假设每户家庭月用水量为x立方米,当用水量不超过20立方米时,应交水费f(x)(元);超过20立方米时,应交水费g(x)(元),当季度总水费为W(元)建立如下函数模型．

W=四月份水费+五月份水费+六月份水费

其中f(x)=2x,(0≤x≤20)；

g(x)=2×20+2.6(x-20)，(x>20).

② 对于上述模型,形式比较复杂,可以适当进行化简,便于后期的计算．通过化简得到

其中f(x)=2x,(0≤x≤20)；

g(x)=2.6x-12，(x>20).

这就是最终的函数模型,当季总的水费W是由这两个函数模型计算得出．

③ 求这个季度的应交水费W,只需将相应的用水量带入模型,根据公式相加即可．

小结对于一些分段、分类型、分水平的问题,常常采用分段函数的模型来解决.值得注意的是分段函数模型每一段的定义域要符合题目所给的条件,也要准确地依据题意建立模型．

2.构建方程、不等式(组)模型

方程、不等式(组)是将现实中的问题数学化后,利用设未知数,代入等量或者大小关系式,再利用解方程(组)、不等式(组)的形式得到数学问题的解决,从而解决现实问题.现实生活中广泛存在着数量之间的等量或不等量关系,如增长率、销售定价、工程问题等问题,模型思想的关键是找出等量或不等量关系,设定合适的未知数,用未知数表示出来,就得到了我们的方程或不等式模型,从而得到问题的解决．

例2某文教店用1200元购进了A，B两种羽毛球拍．已知A种羽毛球拍进价为每副12元,B种羽毛球拍进价为每副10元．文教店在销售时A种羽毛球拍售价为每副15元,B种羽毛球拍售价为每副12元,全部售完后共获利270元．

(1)求这个文教店购进A，B两种羽毛球拍各多少副;

(2)若该文教店以原进价再次购进A，B两种羽毛球拍,且购进A种羽毛球拍的数量不变,而购进B种羽毛球拍的数量是第一次的2倍,B种羽毛球拍按原售价销售,而A种羽毛球拍降价销售．当两种羽毛球拍销售完毕时要使再次购进的羽毛球拍获利不少于340元,A种羽毛球拍最低售价每副应为多少元?

解① 分析问题:题目中出现了许多名词,如进价、售价、获利,我们需要找到它们之间的等量关系,以此来建立方程(组)模型．题中的获利即利润,利润=售价-进价,根据题意,我们可得到两个等量关系组:

又A种羽毛球拍的获利=A种羽毛球拍的数量×每副B种羽毛球拍的获利.

同理可得：

B种羽毛球拍的获利=B种羽毛球拍的数量×每副B种羽毛球拍的获利．

② 对于上述等量关系,我们不妨设文教店购进A种羽毛球拍x副,B种羽毛球拍y副,得到：

上述模型就是我们依据题目的等量关系建立的方程模型,要求文教店购进A，B两种羽毛球拍各多少副,解出上述模型的未知数即可．

3.构建几何模型

几何模型是中考的重要知识点,对学生的空间想象能力要求比较高,还需要学生对各类模型有一定的熟悉度才能灵活运用．生活中随处可见几何,如航海、测量、道路桥梁设计等.随着知识量的增加,几何模型的应用范围更广、难度也更大．

例3如图1,在等边∆ABC中,AB=6，N为线段AB上的任意一点,∠BAC的平分线交BC于点D,M是AD的动点,连结MB，MN.求MB+MN的最小值．

解① 分析:题中涉及到“动点”“最小值”等字眼,启示学生去思考能不能转化为“两点之间线段最短”或者“垂线段最短”来解决问题.这里就涉及到了“将军饮马”模型,将同侧的定点转化为异侧,利用以上两个定理来解决问题．

② 找B点关于定直线AD的对称点,即点C,当C，M，N三点共线,且CN⊥AB,MB+MN有最小值,过点C作CE⊥AB,垂足为点E,则最小值为CE的长．

以上模型属于将军饮马问题中的“两定一动”型,还有“两动一定”“三动型”等等,其本质都是通过“两点之间线段最短”以及“垂线段最短”来解决问题．类似于上述的几何模型还有很多,比如“一线三等角”“费马点定理”等等,许多题目都不是直接将模型呈现出来,而是需要学生以熟悉的几何模型作为切入点,再要克服思维定势,才能最终找到适合的解题方法．

4.构建概率模型

随机事件发生的可能性大小的数值叫做概率.函数是研究变量之间确定的关系,而概率是研究变量之间不确定的关系．概率模型是最贴近生活的模型,因为随机事件发生的可能性几乎充盈在生活的每一个角落.如，“抛一枚硬币,正面朝上的可能性有多大”“掷一枚骰子,骰到六点的可能性有多大”等.构建概率模型,能使上述问题更加直观,且具有说服力．

例4甲、乙两名同学玩一个游戏:在一个不透明的口袋中装有标号分别为1,2,3,4的四个小球(处标号外无其他差异).从口袋中随机摸出一个小球,记下标号后放回口袋中,充分摇匀后,再从口袋中随机摸出一个小球,记下该小球的标号,两次记下的标号分别用x,y表示，若x+y为奇数，则甲获胜；若x+y为偶数，则乙获胜你认为这个游戏对双方公平么?

解① 分析问题:将此问题抽象为数学问题即为x+y为奇数和偶数的概率分别是多少?哪个概率大?

∴P(甲获胜)=P(乙获胜)

既然获胜的概率是一样的,所以这个游戏对双方公平．

在初中阶段的概率模型中,古典概型是最常见的.准确地应用具体的概率模型是描述事件可能性的中心环节．

四、结束语

通过以上例题的分析,我们发现数学模型思想在解题中的有效应用,不仅可以降低解题的难度、提高了解题效率,也能更好地让学生理解解题过程的合理性.这对学生数学素养的的培育有着积极作用.教师的关注点应该放在如何引导学生发现问题中的模型和建立模型上.让学生经历感知模型、建立模型、拓展模型归纳模型、迁移模型这一过程,不仅可以提高学生思维的质量,还可以全面提升学生的数学核心素养．