杨金增 黄祥勇

(四川省成都市金牛区教育科学研究院,610000) (四川省成都市教育科学研究院,610000)

本文以一道中考试题开展动态几何教学探究,设法运用“度量”来观察不变的几何规律,在求“变”中寻找“不变”,培养学生以“不变”应“万变”的思维能力,发挥数学渗透“理性美”的育人功能．

一、 原题呈现

(2021年成都中考第24题)如图1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=8,点E,F分别在AD、BC上,且AE=3,按以下步骤操作:

第一步,沿直线EF翻折,点A的对应点A′恰好落在对角线AC上,点B的对应点为B′,则线段BF的长为______;

第二步,分别在EF,A′B′上取点M,N,沿直线MN继续翻折,使点F与点E重合,则线段MN的长为______.

二、 核心素养视角下试题的特色解读

1.起点低,入手易

本题“矩形的长是宽的2倍”,背景数量关系简单．第(1)问,“沿EF折叠,A的对应点A′恰好落在对角线AC上”,依据“线段AA′被EF垂直平分”,过点F作FP⊥AD于P,利用∠PFE=∠DAC(或者∆PFE∽∆DAC),求出PE,进而可求BF．该题设为两小题填空,共4分．对于数学中等生,第1问的2分是可以得到的,入手还是比较容易．

2.立意高,内涵丰

从两个问题的结构上看,设问以“第一步”、“第二步”的方式,意在提醒翻折操作是“顺次的”,都是研究“翻折”前后“相关线段的位置关系”与“相关线段数量关系”及“对应”的规律．该题妙在第二次翻折操作,打破了“一次翻折”的常规．着力考查学生能否抓住“轴对称”的性质,发现翻折变化过程中“变与不变”的规律,能否“化动为静”,能否建立“相似、全等”数学模型求解“折痕”所在线段MN的长度．

三、 解法赏析

1.求线段BF的长

解法1如图2,过点F作FP⊥AD于点P,设EF交AA′于点Q,

∵EF⊥AA′于Q,∴∠DAC=∠PFE.

∴AP=AE-PE=3-2=1,

∴BF=AP=1.

解法2如图3，延长AB,EF交于点T,设EF交AA′于点Q.

∵EF⊥AQ,∴∠T=∠EAQ,

2.求线段MN的长

解法1如图4,延长NM交AB于P.

由“翻折”对称性知,MN=PM,连结PE,PF,由对称性知PE=PF，

设AP=x,则x2+32=(4-x)2+12,

解得x=1,

∴AP=BF,∴∆PAE≌∆FBP,

∴∠APE=∠PFB,∴∠APE+∠BPF=90°,∴∠EPF=90°.

解法2如图5,延长AB、EF交于T.

由轴对称知,延长A′B′也交于点T,由题意易知MN垂直平分线段EF,

解法3如图6,连结EN,FN,由翻折的对称性知EN=FN.

设A′N=x,则B′N=4-x,由(EA′)2+(NA′)2=(FB′)2+(NB′)2得32+x2=12+(4-x)2,解得x=1,

四、教学启示

1.解后追问 重在发现

几何解题教学中,研究图形变化、探索变化规律,既要注重“一题多解”思维发散训练,又要注重“多题一解”通性通法的思维聚合训练．在问题解决之后,多一点“追问与变式”,追问:条件不变的情形下,还可以提出哪些新问题?改变部分条件,又能提出哪些新问题?将题设中的数据改变成字母,将问题拓展推广,能否推导出一般性的结论?

第一步翻折,图形位置关系是确定的,所以相关线段的数量也是确定的,所以图中线段长度都是可以求解的．解后追问:

① 求线段EF,A′C,AA′,A′D的长;

② 条件改为:若点A的对应点A′恰好落在对角线BD上,点B的对应点为B′,求线段BF的长;

③ 条件改为:点A的对应点A′恰好落在对角线上(注意没有具体说在哪条对角线了),点B的对应点为B′,求线段BF的长．

第二步翻折,解后追问:

① 翻折后,设B′落在B″处,证明:B″在AD上;

② 求线段A′B″,DB″,CB″的长．

2.数字变字母,特殊到一般

拓展变式,探究一般矩形、一般平行四边形的相关结论．

第一步,沿直线EF翻折,点A的对应点A′恰好落在对角线AC上,点B的对应点为B′,则线段BF的长为______(用m,n,a表示);

第二步,分别在EF,A′B′上取点M,N,沿直线MN继续翻折,使点F与点E重合,则线段MN的长为______(用m,n,a表示).

QB=m-x,

由AE2+AQ2=QB2+BF2得,

∴QE2=a2+x2

B′,则线段BF的长为______(用m,n,a表示);

解过点C作CG⊥AD于点G,则

AG=n-mcosθ,

设EF交AC于点H,则

∴BF=BC-FC

再继续翻折,使点F与点E重合的问题,留给读者去思考和研究．

3.改造原题,感悟立意

这样改造原题,提高了问题的难度,它有两个难点:一是字母运算,具有抽象性;二是A′落在矩形的对角线上,需要分两种情况讨论,否则容易漏解．