安徽 王中学 范 忠

2022年全国乙卷数学理科第20题是一道圆锥曲线中的直线过定点问题，并且与向量相结合，考查了椭圆的基本性质，也考查了分析问题、解决问题的能力，尤其是运算求解能力.本文对第(2)问进行了解法上的探讨，并对其进行拓展给出了一般性的结论.

一、原题呈现

(1)求E的方程；

二、解法探究

(2)证法1：由题意可设直线MN的方程为x-1=m(y+2),

(4m2+3)y2+(16m2+8m)y+16m2+16m-8=0.

又Δ=(16m2+8m)2-4(4m2+3)(16m2+16m-8)>0，

设M(x1,y1)，N(x2,y2)，

所以点H(3y1-x1+6,y1).

所以过定点(0,-2).

综上，直线HN过定点(0,-2).

又x1y2+x2y1+2(x1+x2)-6y2-12-3y1y2-6y1

=(2m-3)y1y2+(4m-5)(y1+y2)+8m-8

=0,

即点Q在直线AB上，所以点Q=T.

综上，直线HN过定点(0,-2).

证法3(坐标平移变换)：设原方程坐标为(x′,y′)，新坐标为(x,y)，

由题意可设直线MN：x=my+1，

设M(x1,y1)，N(x2,y2)，

若过点P的直线MN的方程为y=-4x+4时，

即点Q在直线AB上，所以点Q=T.

综上，直线HN过定点(0,-2).

三、问题探究

证明：由题意可设直线MN：y-(a-c)=k(x-a),

化简得，2ab2k(a-c)-b2(a-c)2+b4>0，

设M(x1,y1)，N(x2,y2)，

设MH的中点为Q，

即点Q在直线AB上，所以点Q与T重合.

综上，直线HN过定点(a,0).

通过问题的探究，我们可以得到以下结论.

由于椭圆与双曲线有很多相似的性质，于是考虑双曲线是否也具有相似的结论呢？经计算，得到结论2.

经计算，抛物线也具有这类性质，于是得到结论3.

四、小结

马波教授在《中学数学解题研究》中提到：开展解题研究，选择适当的问题，从解题的某一个侧面加以总结、概括、提升，尤其是审题和反思这两个环节，这直接关系到解题的水平和能力.解题后的反思不仅是简单的回顾和检验，而应仔细分析问题的结构特点，总结、厘清、概括思路，进而提出新的问题并加以解决.通过对条件和结论的再认识，变换角度，进行类比或归纳，形成知识的正迁移.