重庆 简 毅 李 娅

本文以“函数的概念与性质”章首课单元教学设计为例，通过学生经历归纳、推导函数概念这一过程，体验函数概念形成，同时给出了怎样培养和落实数学抽象核心素养的教学建议.

一、问题的提出

数学是研究数量关系和空间形式的一门科学.数学是对现实世界的高度抽象，基于抽象结构，通过符号运算、形式推理、模型构建等，理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律.数学的发展和人类世界的发展联系非常紧密.数学哲学概念的数学抽象为数学学科六大核心素养之一，与其他素养统领整个高中数学学科的内容，函数的概念与性质一章节就充分体现了数学学科的抽象.新课程大力倡导单元教学，单元教学有利于核心素养的提炼，有助于学生掌握、建构完整的知识体系.本文就以函数的概念与性质为例，谈谈基于单元教学设计中数学抽象素养培养和落实研究.

二、相关的概念

(一)数学抽象

数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养.主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征.

(二)单元教学设计

关于“单元教学设计是什么”的问题，学界并没有统一的答案，但对单元教学设计的地位都有统一看法，都认同单元教学设计的“承上启下”作用，都赞同单元教学设计对教学要素的整合作用，都强调要先把握学生认知水平，再进行单元设计.虽然学界关于“单元”的界定并不统一，但可以看出，无论将“单元”视为“教材单元”，还是认为“教学单元”，都不应局限于“单元”.虽然单元大小有区别，但都遵循按照学生的思维活动来选取单元教学内容，重构单元.

三、案例分析——以“函数的概念与性质”章首课为例

1.教材解析

1.1 内容解析

本单元内容结构如上图所示，包含四个小节的内容，分别是函数的概念及其表示；函数的基本性质；幂函数和函数的应用(一).函数作为中学数学的基本概念，串起了整个初高中数学的脉络，内容的安排与学生的认知相呼应，同时又致力于培养学生的最近发展区.函数概念由初中学习的变量说到高中定义的对应说，层层递进，将初中的一次函数、反比例函数和二次函数上升至高中的基本初等函数，进而抽象凝练至一般的抽象函数，逐渐建构了学生关于函数的认识.而函数的概念和性质是所有函数的共同性质，可以说该部分内容具有提纲挈领的作用，为后续研究基本初等函数提供了思路，所以从哲学上来讲，也具有方法论的作用.

1.2 学情分析

高中学生已经在初中接触并学习过函数，尤其是二次函数作为初中的一个重点内容，也是难点内容，学生刚开始会有一定的抵触情绪.同时，随着函数抽象属性的显现，学生会越发吃力.所以，高中对于此单元的教学，应该充分考虑并把握函数的抽象性，既要形象的转化又要适当的培养.

1.3 教学目标

结合课程标准对本单元的目标定制以及学生的实际情况出发，对该部分做以下目标解析：

(1)熟练运用集合的语言描述刻画函数，建构起函数的概念，用恰当的表示方法表示函数，会判断同一函数具备的条件；

(2)具体函数、抽象函数以及实际问题衍生函数的定义域需要学生掌握；

(3)能够利用科学的方法求解函数的解析式，主要是待定系数法、换元法、方程组法以及配凑法；

(4)能用符号语言刻画函数并研究函数的基本性质，通过幂函数的研究，提炼出研究一般函数的方法；

(5)通过实际问题的解决，培养学生的数学美感与数学意识.

1.4 教法分析

学生具有初中函数的知识，初中的学习更有助于教师开展单元教学.单元教学注重将相关内容联系起来，进行整体设计，对学生学习本节内容进行整体规划，让学生学习起来具有层次感，系统性，逐步让学生建立系统思维.鉴于函数章节内容的抽象性，学生学习必然会产生很多阻碍，因此课堂教学需要教师创设问题情境，大力引导学生归纳总结出问题情境的共同特征，抽象概念.同时也要培养学生自主学习探究的能力，所以将采用启发式教学与探究教学相结合的方式进行教学.借助现代教育技术的便捷性，直观演示，使书本的知识“动”起来，增强数学的直观性，使学生更好地理解数形结合思想，帮助学生理解抽象的性质.可以采取小组合作的方式探究函数的基本性质，利用函数单调性、奇偶性等性质解决一些数学问题，培养学生的合作意识.

1.5 结构安排

(1)函数的概念与性质单元教学中所对应的数学核心素养

主题单元模块内容核心素养函数函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示1.函数的概念及函数的三要素2.相同函数、区间的概念3.函数的表示法、分段函数数学抽象、逻辑推理3.2函数的基本性质1.函数单调性的定义及其性质2.函数的最大(小)值3.函数的定义及其相关性质4.函数单调性与奇偶性的综合题型数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象3.3幂函数幂函数的定义及其性质五个特殊幂函数的图像与性质数学抽象、数学建模3.4函数的应用(一)几种常见的函数模型在实际问题中的应用数学建模、数学运算

(2)单元的课时分配

教学内容教学安排课时安排函数的概念及其表示函数的概念及三要素相同函数、区间的概念、分段函数及函数的三种表示法3函数的基本性质函数的单调性函数的最大值、最小值函数的奇偶性函数单调性与奇偶性的综合应用4幂函数幂函数的定义及其性质1函数的应用(一)利用函数模型解决实际问题1文献阅读与数学写作了解函数形成与发展的历史1单元复习利用思维导图,建立本单元整体框架培养学生整体思维,渗透数学学科核心素养2

2.问题预见性分析

本单元学习的基本流程是基于函数的事实，抽象出函数的概念，然后学习函数的表示方法，进而研究函数的性质，通过幂函数体会具体函数的研究过程.让学生构建起函数研究的基本流程，并加以推广，形成新的认识，积累新的活动经验.

本单元的学习是建立在初中函数学习的基础之上，初中函数概念是变量说，所以在借助已有经验的前提下，也要打破固有思维，引进对应说，集合与集合的对应关系，那么新的关系的建立必然会导致大部分学生对集合对应说的理解较为困难，所以概念起始课应充分分析实际问题，通过实际问题抽象出函数的概念，将数学的抽象属性形象化.

通过问题预见性分析，可以得出从实际问题抽象出函数的概念将是第一节的难点；对应说是认知层面的第二个难点；幂函数的性质是理解函数性质具体实施的另一个难点；解决实际问题是函数应用于生活的一个难点.

3.章首课教学设计

章首课 函数的概念及其表示

(一)课时教学内容

本节是人教A版2019年普通高中教科书数学必修第一册，第三章第一节的内容.而函数的概念及其表示是“函数概念与性质”单元的第一节，有着特殊的地位.它是在初中函数学习的基础上提出来的，既是对初中知识的深化，又是对函数知识的进一步拓展.这也是要让学生完成从事实到概念的认识过程，让学生学会关注研究对象，学习函数的定义，从初中的“变量说”上升至高中的“对应说”，从集合的角度，利用集合间元素的对应关系来刻画函数.通过对函数概念的再次理解与深入探讨，抽象出函数概念的具体要素，明确函数在不同情况下的表示方法.除了让学生理解函数以外，更注重对学生数学方法和思想的渗透，本节内容将对整个高中函数的理解有着至关重要的作用，对学生数学抽象、数学运算、逻辑推理、数据建模核心素养都有所渗透，同时也为后期学习函数单调性、最值、奇偶性打下坚实的基础，更是为后续基本初等函数的学习奠定了理论基础.

初中对于函数的定义是从变量的角度，以一种通俗易懂的方式进行描述的，而高中将从定量的角度，具体刻画函数的概念，学习过程中，将会出现定性至定量的转变，具体至抽象的转变，这都是本节内容所面临的难点.因此，对于抽象的集合符号语言和函数符号语言，教师要特别注重这方面知识的讲解.但本阶段的高中生已能初步运用抽象概念进行逻辑推理，基本了解事物之间的内在逻辑联系，初步形成了分析问题、解决问题的能力，思维活跃，有较强的求知欲，动手能力强，学生也逐渐学会团队协助，进行互相讨论学习，学生通过对知识进行自学和讨论，也对本节内容有了初步了解，更有利于教师教学.但教师也要做好教学中提出问题的引导，这样才有助于学生分析问题，甚至合作解决问题.

(二)课时教学目标

1.用集合的语言来描述“对应关系说”观点下函数的概念.

2.理解y=f(x)的含义，能用函数的定义刻画简单具体的函数.

3.能从具体实例中抽象概括出函数的概念的过程中，培养学生的数学抽象核心素养.

(三)教学重点与难点

1.教学重点：用集合语言表述的“对应关系说”，进而建立函数的概念，通过学生体验这一过程，培养学生的数学抽象核心素养.

2.教学难点：能从具体的问题中抽象出函数概念，准确找出并理解函数的定义域、值域和对应关系.

(四)教学过程设计

【问题1】观察章头图，你有什么发现？

师生活动：

1.学生观察章头图，分析其中有哪些图片？图片中透露出什么信息？

2.教师对学生介绍天宫二号所表现出的运动与变化的情况.

设计意图：

通过对学生介绍天宫二号所表现出的运动与变化，激发学生对未知领域的好奇心与学习兴趣，并由此体会函数在现实中的广泛运用，从而使学生感受到进一步学习函数的必要性.

追问：请阅读章引言，结合章头图思考，学习函数有什么重要意义？

师生活动：

1.学生阅读章引言，并回忆初中接触过函数吗？它是如何刻画变量之间对应关系的，并引导学生继续思考，将其进行归纳后分别进行阐述.

2.教师将学生的发言进一步归纳，以确保语言的精炼和准确.

设计意图：

学习函数有三方面的主要意义：一是客观世界中各种运动变化现象可以用函数模型刻画；二是函数概念及其应用的思想方法不仅是进一步学习数学的基础，也是学习其他学科的重要基础，更是解决问题的重要工具；三是本章的学习内容、过程与方法.

【问题2】在初中我们学习了哪几种基本函数？其函数解析式分别是什么？对函数概念是如何定义的？

师生活动：

1.学生回答初中学习过的一次函数、二次函数、反比例函数.

2.教师板书三种函数的表达式，同时可引导学生画出函数的图象.

设计意图：

通过对学生初中学习过的函数，进行回顾，来引起学生对初中学过的函数的回忆，思考原来是如何定义的，我们掌握了函数的哪些内容，而现在我们从另一个角度再来定义函数的概念，是在原来的基础知识之上的再次认知，使得学生更容易接受新知识.

【问题3】观察书上的这几个实例，并找出他们的区别与联系，并观察它们各自的特点.

实例1.某“复兴号”高速列车到350 km/h后保持匀速运行半小时.这段时间内，列车行进的路程S(单位：km)与运行时间t(单位：h)的关系可以表示为S=350t.

实例2.如图，是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图.如何根据该图确定这一天内任一时刻th的空气质量指数的值I？你认为这里的I是t的函数吗？

年份y2006200720082009201020112012201320142015恩格尔系数r(%)36.6936.8138.1735.6935.1533.5333.8729.8929.3528.57

师生活动：

1.学生观察书上的实例分组讨论，并归纳这几个实例的函数表示有什么区别和联系，并分析各个问题中的对应关系是什么，它们是如何刻画的，在实例1中，时间t有没有范围，S的范围是多少，它们各有什么不同，举手发言；

2.教师进行分析、归纳.

设计意图：

引导学生通过观察具体实例，并通过讨论分析，找出他们的共同特点，最后抽象出函数概念，培养学生逻辑推理和数学抽象素养.

【追问】你能以上几个实例中，从集合中元素对应关系的角度，抽象概括出函数的概念吗？一个函数由哪几部分构成？

师生活动：

1.学生讨论发言，通过实例找出集合间元素的对应关系；

2.教师引导学生得出：

(1)都包含两个非空数集,用A,B来表示；

(2)都有一个对应关系；

(3)尽管对应关系的表示方法不同，但他们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x,按照对应关系f,在数集B中都有唯一确定的数y与它对应.事实上,除解析式、图象、表格外,还有Venn图、文字等其他表示对应关系的方法,为了表示方便,我们引进符号f统一表示对应关系.

设计意图：

让学生通过归纳四个实例中函数的共同特征,体会数学抽象过程,概括出用集合与对应语言刻画的一般性函数概念.在此过程中,要突破“如何在四个实例基础上让学生进行归纳、概括、抽象函数概念,并以此培养学生的数学抽象素养”这一难点,突出“在学生初中已有函数认识基础上,通过实例归纳概括出函数的基本特征(要素), 即给学生问题，给学生时间，给学生表达的机会，充分体现了学生在课堂的主体地位，用集合与对应的语言建立函数的概念”这一教学重点.

【问题4】函数的概念是什么？

师生一起归纳：设A,B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作：y=f(x)，x∈A.x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.

A

B

设计意图：让学生认识标准化的函数概念的定义，确立函数定义的方法，掌握函数的概念.

【问题5】对函数符号y=f(x)的如何理解？

(1)y=f(x)为“y是x的函数”的数学表示，是一个符合，f(x)与f与x相乘是两码事，不能混为一谈.

例如：y=3x+1可以写成f(x)=3x+1.

当x=2时,y=7可以写成f(2)=7.

想一想：f(a)表示什么意思？f(a)与f(x)有什么区别？

通常情况下，f(a)表示当x=a时的函数值，是一个常量.f(x)表示自变量x的函数，一般情况下是变量.

(2)“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，

如：“y=g(x)”，“y=h(x)”；

设计意图：加强学生对函数符号的理解.

【问题6】思考：函数的对应关系和值域的理解？

例1.若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2}，值域为N={y|0≤y≤2}，则函数y=f(x)的图象可能是( )

解：对于A选项，当x∈(0,2]时，在集合N中，没有对应的函数值，因此不是函数；

对于B选项，根据函数的定义本选项符合题意；

对于C选项，出现了定义域中一个元素对应值域中有两个相同元素的情形，不成立；

C

对于D选项，值域当中有的元素在集合M中没有对应的实数，不符合题意，故选B.

D

解题技巧：(判断是否为函数)

1.根据函数的定义，若y是x的函数,则函数图象与垂直于x轴的直线至多有一个交点.

2.函数的对应关系只有“一对一”或“多对一”；“一对多”的不是函数关系.

变式训练1.已知集合P={x|0≤x≤9},Q={y|0≤y≤3}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________.(填序号)

【答案】③

【详解】

①②④满足函数的定义，所以是函数，

设计意图：

通过学生辨析，提升学生对函数的值域、对应关系的理解，加深学生对函数概念的掌握，提升学生实际应用能力.

(五)目标检测设计

1.集合A={x|0≤x≤4}，B={x|0≤x≤2}，下列不能表示从A到B的函数的是

( )

2.变量x与变量y，w，z的对应关系如下表所示：

x123156y-1-2-3-4-1-6w201248z000000

下列说法正确的是

( )

A.y是关于x的函数 B.w不是关于x的函数

C.z是关于x的函数 D.z不是关于x的函数

四、教学反思与评价

该教学设计在通过实际教学的应用，发现学生能顺畅的从以前初中的变量说，过渡到高中的对应说，学生通过生活中具体的案例，来抽象、概括出函数的概念，感悟函数概念形成的过程，领悟了函数的对应关系，掌握函数的相关性质，学生在经历了函数概念形成的过程后，逐渐学会思考概念形成的过程，养成探索与思考的习惯.

对于概念的教学，如果老师只是注重对概念的传授而忽略了让学生去建构的过程，学生对知识的理解就停留在了表面，只识其形，而未悟其质，不能深刻的领略知识的内涵，因此老师一定要让学生去经历知识的产生过程，才能更好地掌握知识的本质，这也是培养和落实学生核心素养的有效途径之一.

四、教学建议

(一)注重数学概念的生成，培养和落实数学抽象核心素养

数学概念课是数学课的核心课，只有弄懂概念，学生才能更好地理解知识，才会解数学题，但是如今很多老师没有改变自己的教法，重练习，轻引导，对概念课的教学淡而化之，造成学生对概念的理解是肤浅的，很多概念都是夹生饭，这样在做一些综合性题的时候往往不能得心应手，因此要注重概念课的生成，这样学生的数学抽象素养才能提升.

(二)注重各种课型的研究，将数学抽象核心素养的培养落到实处