四川 张 君 王奋际

“双减”背景下高考数学全国卷的命题，要求减少“机械刷题”，加强学科核心素养的考查.本文以2022年高考数学全国甲卷文科第12题为例，从一题多解着手，研究比较大小类题目的通性通法，寻求解题本质，发散数学思维，最后形成多题一解，发展数学学科核心素养.

1.真题再现

【例】(2022·全国甲卷文·12)已知9m=10，a=10m-11，b=8m-9，则( )

A.a>0>bB.a>b>0

C.b>a>0 D.b>0>a

2.试题分析

罗增儒教授把解题总结为“条件预示可知并启发解题手段，结论预告需知并诱导解题方向”，解题的本质是找条件与结论的关系，故本题从两种角度思考解题方案：一是综合考虑条件与选项，做等价变形；二是直接从条件出发，推导结论.

观察已知条件，a,b均为指数式与常数之差，作差后不易比较大小，又由于a,b无法判断正负，作商也不易比较；再观察选项发现，a,b都需要与0比较，故可考虑等价变形为三个对数值log1011，log910，log89的大小比较，即思路1.

等价变形为三个对数值的大小比较，此时可以直接作差(解法1)，作商(解法2)比较，利用数列单调性(解法3)，函数单调性比较(解法4).解法1,2,3都可以使用均值不等式将对数乘法转化为加法，解法4则利用函数求导寻找单调性.

由于条件中的三个表达式结构类似，可以考虑构造函数，利用函数单调性比较，即思路2.此时可转化为函数零点和单调性问题(解法5)，也可转化为两个函数图象分析问题(解法6)，也可转化为幂函数图象增长速度问题(解法7).

若将9m作为整体，避开对数运算，适当放缩，转化为寻找a的下界和b的上界的问题(解法8).

上海市特级教师文卫星老师主张以思维导图对解题思路以形象总结，此题可表示为如下思维导图.

3.一题多解

3.1 思路1：综合条件与选项，恒等变形转化

由9m=10知m=log910，比较a=10m-11与0的大小，等价于比较10m与11的大小，等价于比较m=log910与log1011的大小；同理，比较b=8m-9与0的大小，等价于比较m=log910与log89的大小；至此，本题转化为比较log1011,log910,log89三个数的大小.要比较这三个数又可以有如下几种方案.

同理可证log91010log1011-11=0，b=8m-9=8log910-9<8log89-9=0，所以a>0>b，故选A.

解法3：将这三个数看作数列{logn(n+1)}的第8,9,10三项，先研究数列的单调性，比较logn(n+1)与logn+1(n+2)，其中n∈N,n≥2的大小.

所以ln2(n+1)-lnn·ln(n+2)>0，即logn(n+1)>logn+1(n+2).

由此可得,log89>log910>log1011，下同解法1.

点评：上述三种方法，先将对数化同底，基于同底对数没有乘法，但可以相加，不约而同的利用均值不等式，最终完成解题.

解法4：令f(x)=logx(x+1)(x>1)，则通过求导易得f(x)单调递减.

由1

所以xlnx<(x+1)ln(x+1).

因此，当x>1时，f′(x)<0，所以f(x)=logx(x+1)在(1,+∞)上单调递减,

所以f(10)

3.2 思路2：形式同构，构造函数，逆用单调性，数形结合

解法5：令f(x)=xm-x-1(m=log910)，

则f′(x)=mxm-1-1，令f′(x)=0，

又因为m=log910>1，

又因为f(9)=0，所以a>0>b，故选A.

解法6：f(x)=xm-x-1(m=log910)，

则f(9)=0.则函数y=xm(m=log910)与y=x+1的交点为(9,10)如图所示.

由图可知，当0

当x>9时，xm>x+1，所以8m<9，即b=8m-9<0，10m>11，即a=10m-11>0.所以a>0>b，故选A.

解法7：如图，从下到上分别是y=8x，y=9x，y=10x的图象，直线x=1与三条曲线分别交于点A,B,C，

直线x=m(m=log910)与三条曲线分别交于点E,G,P，

分别过点A,B,C作x轴的平行线依次交直线x=m于点D,F,H.因为y=8x，y=9x，y=10x的图象上升速度依次加快，则DF

所以8m-8<9m-9=1<10m-10,∴8m-9<9m-10=0<10m-11,故选A.

点评：解法4至解法7都构造了函数，但构造的函数各不相同，构造函数后，利用的函数性质也不同，可见，通法之下也有很多变化.

3.3 思路3：化异为同，适当放缩

解法8：显然，m>1.

所以a>0>b，故选A.

4.一题多思

比较大小类题目是近年高考常考题，入口低，方法灵活，能全面考查学生数学思维能力.常见的方法主要有直接或变形后作差、作商比较；构造函数利用单调性比较；构造函数利用函数图象比较；放缩法.此题中每一种通法都可以切入试题，而每种方法又不是独立存在.通法之间可以交叉混合使用，比较log1011,log910,log89三个数不仅可以用基本不等式，还可以使用加糖不等式等方法(见5课本溯源).试题多角度、多层次进行考查，兼顾基础性、综合性.

事实上，比较大小的题目还可以采用估值的方法，如果考生手上有计算器，直接输入计算即可得出答案.考场上学生要估计一个数的大小，通常可以考虑放缩法、利用常见的对数值(如lg2≈0.3,lg3≈0.477,ln2≈0.69,ln3≈1.1)、泰勒展开等.

5.课本溯源

(2019年人教A版《数学必修第一册》第141页13题)比较下列各题中三个值的大小：

(1)log0.26,log0.36,log0.46；(2)log23,log34,log45.

我们来研究一下第(2)问.

所以log23>log34.

同理可得log34>log45.

综上所述，log23>log34>log45.

点评：作差、通分后，利用基本不等式即可判断ln23-ln2×ln4的符号，如果掌握了这种思想方法，那么考题中a-b的符号就容易联想到利用基本不等式来判断，此外，课本的结论还可以推广为logn(n+1)>logn+1(n+2)(证明见上文解法3).

这说明这道考题源于课本高于课本，因此，指导高三复习要立足课本，适当提高，就能提质减负！

6.通法迁移

国务院《深化新时代教育评价改革总体方案》提出要“改变相对固化的试题形式，增强试题开放性，减少死记硬背和‘机械刷题’现象”，这要求教学中要重视通性通法，寻找解题本质，落实核心素养.

本文对2022数学甲卷文科12题解法研究中，主要提出了三大类通法，一是综合考虑条件和结论，等价变形后，作差、作商比较大小；二是结构相似，构造函数，利用函数性质，如单调性、图象，增长趋势等比较大小；三是利用放缩，特殊值，甚至泰勒展开等估计参数值的范围比较大小.

这些“通法”当然也能迁移到其他高考题目，例如：

1.(2020·全国卷Ⅲ理·12)已知55<84，134<85.设a=log53，b=log85，c=log138，则( )

A.a

C.b

∴b

点评：以上解析用到了两种通法，a,b的比较采用作商法，b,c的比较采用放缩法.

A.a

C.b

所以a

点评：以上解析用到了放缩法.

A.c>b>aB.b>a>c

C.a>b>cD.a>c>b

点评：以上解析用到了两种通法，b,c的比较采用作商法，b,a的比较采用构造函数的方法.

从以上三个高考题的解析可以看到，高考题强调通性通法的考查，教学中教师应注重通法的教学.学生在理解掌握通性通法之后，根据题目的具体呈现形式，灵活选择并做适当变形，就能完成解题.

7.一题多变

在高考题基础上，笔者进行了一些变式，读者可以尝试从通法入手，完成解题.

【变式1】已知a=101.1-6，b=91.1-5，c=81.1-4，则a，b，c的大小关系是( )

A.a

C.c

【变式2】已知，10m=11，a=8m-9，b=9m-10，则( )

A.a>0>bB.a>b>0

C.0>b>aD.b>0>a

【变式3】已知9m=11，a=10m-12，b=8m-10，则( )

A.a>0>bB.a>b>0

C.b>a>0 D.b>0>a

【变式4】已知5m=31，a=6m-42，b=7m-55，则a，b，c的大小关系是( )

A.a>0>bB.a>b>0

C.b>a>0 D.b>0>a