广东 郑灿基

一、问题呈现

(1)求A到平面A1BC的距离；

(2)设D为A1C的中点,AA1=AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1,求二面角A-BD-C的正弦值.

本题以直三棱柱为背景，考查点到平面的距离、平面与平面垂直的性质定理、空间二面角等知识，着重考查逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，需要具备较好的等价转化、推理论证、图形分析、运算求解等能力才能很好地解决本题.

二、多维角度

(1)利用等体积法求解：

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，设点A到平面A1BC的距离为h，则由VA-A1BC=VA1-ABC得

(2)解法1：法向量法.

取A1B的中点O,连接AO,如图，因为AA1=AB，所以AO⊥A1B.

又平面A1BC⊥平面ABB1A1,平面A1BC∩平面ABB1A1=A1B，所以AO⊥平面A1BC.

又BC⊂平面A1BC,所以AO⊥BC.

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以AA1⊥BC.

又AO∩AA1=A，所以BC⊥平面ABB1A1.

又AB⊂平面ABB1A1，所以BC⊥AB1.

所以BC，BA，BB1两两垂直.以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

所以B(0,0,0),A(0,2,0),A1(0,2,2),C(2,0,0),D(1,1,1)，

设平面ABD的法向量m=(x1,y1,z1)，

令x1=1,则y1=0,z1=-1，所以平面ABD的一个法向量为m=(1,0,-1).

设平面BDC的法向量n=(x2,y2,z2)，

令y2=1,则x2=0,z2=-1，所以平面ABD的一个法向量为n=(0,1,-1)，

小结：向量法是求解平面与平面所成角的有力工具.求平面与平面所成角的一般思路：①建系设点：建立合理恰当的坐标系,写出相关点的坐标;②求相关向量：求出两个平面的一个法向量;③求向量的夹角：利用向量的数量积求出两个法向量的夹角;④转化：将向量夹角的余弦值转化为二面角的余弦值.

解法2：三垂线法.

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB，则四边形ABB1A1是正方形，

连接AB1，则A1B⊥AB1.设A1B∩AB1=O，

因为平面A1BC⊥平面ABB1A1,平面A1BC∩平面ABB1A1=A1B,AO⊥A1B,AO⊂平面ABB1A1，所以AO⊥平面A1BC.又BC⊂平面A1BC，所以AO⊥BC.

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以AA1⊥BC.又AO∩AA1=A，所以BC⊥平面ABB1A1.又AB⊂平面ABB1A1,所以BC⊥AB.

过点O作OE⊥BD于点E,连接AE.

因为AO⊥平面A1BC,所以AO⊥BD.又OE∩AO=O,所以∠AEO是二面角A-BD-C的补角的平面角.

小结：利用三垂线定理及逆定理作出二面角的平面角，是传统几何法中解决二面角问题的重要方法之一.如图，在二面角α-l-β中，过平面α内一点A作AO⊥平面β，垂足为O，过点O作OB⊥l于点B(过A点作AB⊥l于点B)，连接AB(或OB)，由三垂线定理(或逆定理)知AB⊥l(或OB⊥l)，则∠ABO为二面角α-l-β的平面角.我们要特别注意：①在作图过程中，我们作出了两条垂线AO与OB(或AB)，后连接AB两点(或OB两点)，这一过程可简记为“两垂一连”，其中AO为“第一垂线.”②“第一垂线”能否顺利找到或恰当作出是利用三垂线法作二面角的平面角的关键.例如在本题中，AO⊥平面A1BC,A∈A1BC,所以AO是第一垂线，我们只需要过O作OE⊥BD(或过A点作AE⊥BD)于点E，连接AE(连接OE)，则∠AEO为二面角A-BD-A1的平面角即二面角A-BD-C的补角的平面角.

解法3：射影面积法.

不难看出，以上三种解法都注重对逻辑推理的考查，其中线线、线面和面面位置关系的判断、证明以及深度挖掘，是这三种解法不可或缺的环节.如果离开了推理论证，解题思路就会受阻，难以继续.

三、问题引申

1.求解三棱锥的体积常见的技巧策略

(1)当锥体的顶点到底面的距离不好求解，常常考虑顶点的平移：

①点在平面的平行线上平移

如图所示，若直线l∥平面α，则直线l上所有点到平面α的距离均相等.

例如：如图，当AE∥CF,则AE∥平面BCF，则VE-BCF=VA-BCF.

②点在与平面相交的直线上平移

如图所示，若直线AB与平面α交于点O，则点A,B到平面α的距离之比为OA∶OB.特别地，当O为AB中点时，则A，B到平面α的距离相等.

(2)求三棱锥的体积常利用等体积法进行转化.当三棱锥的底面和高比较难求时，常常转化为新的顶点到换得的底面的距离，容易通过题设条件进行求解.解题过程中常常灵活运用上面的方法技巧多次等价转化.

例如：如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，A1D⊥底面ABC,AD=DC，侧面AA1C1C为边长为2的菱形，AC⊥CB,BC=1,求三棱锥B-A1B1C的体积.

我们可考虑这样转化：VB-A1B1C=VA1-BB1C=VA-BB1C=VB1-ABC=VA1-ABC.其方法是不唯一的.

又例如：(2012·辽宁文·18节选)如图，直三棱柱ABC-A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA′=1,点M，N分别为A′B和B′C′的中点，求三棱锥A′-MNC的体积.

(2)利用面面垂直的性质定理求点到平面的距离

面面垂直的性质定理是寻求点到平面的射影的重要方法，因此也是求解点到平面的距离的重要途径.这一点在高中数学课堂中不够重视，尤其是引进向量法后学生倾向于利用向量法求解点到平面的距离，利用面面垂直的性质定理来思考和解决问题反而被忽略了.我们来看以下例子：

(1)求证：AB⊥PC;

(2)求P到平面ABC的距离.

2.利用三垂线定理求二面角的平面角的技巧策略

利用三垂线定理求二面角的平面角，要遵循“作-证-求”的步骤，要善于利用图中已有的“第一垂线”，要敢于利用已知条件和相关性质定理作出“第一垂线”.下面以一道模拟试题为例进行说明：

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD.

(1)求证：平面PAC⊥平面PBD.

(2)若PA=AB=2,∠BAD=60°,求二面角A-PB-D的余弦值.

第(1)问的证明不赘述.对于第(2)问，如何用三垂线法作出二面角A-PB-D的平面角呢？

思路1：如果我们利用第(1)问的结论，平面PAC⊥平面PBD，可以考虑过平面PAC内的点A作平面PBD的垂线.先寻找平面PAC与平面PBD的交线.

设AD∩BC=O，连接PO，则OP为平面PAC与平面PBD的交线.这样我们过点A作AM⊥OP于点M，由面面垂直的性质定理可知AM⊥平面PBD.于是AM是第一垂线，过点M作直线MN垂直PB于点N，连接AN，则∠ANM就是二面角A-PB-D的平面角，如图所示.

思路2：注意到平面APB和平面PBD这两个平面中，平面APB是“竖直”的，寻找平面APB的垂线更为容易，我们可以考虑作DO⊥AB，交AB于点O.由于PA⊥DO，AB∩PA=A,所以DO⊥平面PAB，所以DO是第一垂线，过O作OF⊥PB，交PB于点F，连接DF，则∠DFO是二面角A-PB-D的平面角，如图所示.

可以看出，利用三垂线法求二面角的方法也是有多种，我们要分析图形特点，选择更为恰当、有利于计算的方法，这样可以降低计算量，达到快速解题的目的.

四、本高考题得分偏低的原因

今年高考本题的得分很低，那么问题主要是出在哪些地方？众所周知，立体几何是考查直观想象能力最主要的载体，但实际有不少学生的空间观念薄弱，对图中点、线、面的位置关系不能识别，教师过于强调利用向量坐标法解题，都期望能借助向量坐标法较好地回避推理论证中遇到的困难，这样容易使学生形成习惯，而缺乏对推理论证的训练.例如2022年全国新高考Ⅰ卷的19题，如果不经过一系列推理论证说明BC⊥AB,是很难利用向量建系法解题的.因此，在学习立体几何时一定要先掌握好基础知识，注重传统方法解题和逻辑推理的训练.

五、备考建议

1.夯实基础知识,构建知识网络

我们要完善立体几何中点、线、面之间的位置关系与度量关系，形成良好的数学知识体系.例如，如图所示，空间平行和垂直是立体几何两个重要的问题，厘清它们之间的关联，有助于加深对定理的理解，有利于在具体问题中灵活转化和应用.向量法也是如此，向量法并不是几个向量公式的套用.坐标系的建立,证明方法及计算公式的选择,都是以几何定义、定理为理论依据.只有夯实理论基础，明晰概念、定理和基本方法，才能实现在更高层次上能力与技能的提升.

2.注重推理训练，重视用传统方法解答立体几何解答题