［摘  要］ 解题反思是教学的重要环节之一，它对提高学生的解题能力具有重要影响. 但在实际解题训练中，不少学生只关注解题结果，却鲜少关注解题过程，导致无法举一反三、灵活解题，这是缺乏解题反思习惯的典型表现. 文章从数学解题反思的積极意义出发，提出解题反思可以从以下几点做起：错题反思，清晰解题思路；变式反思，发展数学思维；程序反思，实现知识迁移.

［关键词］ 解题反思；教学；解题能力

苏霍姆林斯基认为：“懂不一定知，即使理解还不等同于建构认知.”他提倡：学生要注重对知识的内化与反思，尤其是解题后的反思，能起到灵活思维、融会贯通的重要作用［1］. 但我们却常听到教师之间出现这样的对话：“一个问题讲了n遍，学生在互动环节说得头头是道，解题时却漏洞百出.”究其主要原因，是因为学生在解题时，没有及时进行反思，只是一味地追求当时的结论，没弄清楚知识之间的内部联系，只要试题稍微发生一点变化，就无法灵活解题.

解题反思的积极意义

1. 查漏补缺

曾子曰：“吾日三省吾身.”可见反思的历史之悠久，对我们的生活与学习都产生了重要影响. 数学解题中，不少学生会因为概念模糊或审题不清，而出现各种各样令人啼笑皆非的错误. 而错误发生后，绝大部分学生是不自知的. 这就需要及时回顾、评价与反思解题过程，将解题结论代入原题中进行合理性的验证，达到查漏补缺的效果.

2. 探寻规律

有些学生信心满满地解完题就此罢休，其实数学知识是一个有机的整体，知识之间有着纵横交错的关联，纵使题目发生千变万化，但一些内在规律却亘古不变. 解题结束后，教师可以引导学生进行以下反思：这种解题思路、运算方法是否最便捷？有没有受思维定式的影响而照搬乱套不合理的解题方法？让学生在不断地质疑中，优化思维、探寻规律，使得解题过程更具科学性.

3. 知识迁移

任何知识的学习都是为了灵活应用. 解题后，我们要通过试题所涉及的知识点思考各个知识点之间具有怎样的系统性，通过以点带面的方式不断拓展知识所涉及的面，让学生从系统的角度认识知识结构，形成知识的正迁移.

4. 融会贯通

任何问题都不是孤立存在的，解题切忌就题论题，而应通过解一道题获得解一百道题的能力. 这就需要我们在解题后及时反思问题之间存在的联系，让反思启发思维，使得一些重要的数学思想和方法根植在学生的认知系统，形成良好的学科素养. 学生则在反思中体验创造与生成带来的乐趣.

解题反思的实际应用

1. 错题反思，清晰解题思路

解题中出现各种错误在所难免，对待错误的态度不同，会产生完全不一样的结果. 面对错题，及时采取验证、反思与纠错的学生，使得错题成为最好的再生教学资源，让自己在错误中吸取教训，获得成长；而面对错题只是将正确答案随手一抄的学生，则无法从中有所收获，后期还可能将错误进行到底.

每解完一道题，都有必要回过头来重新审查一遍，以确认自己的审题是否清晰，是否混淆概念，题设条件中的隐含条件是否考虑周到，逻辑上是否有问题等［2］. 如此，才能确保解题的正确性. 因此，解题后及时反思是对学生解题的基本要求，也是帮助学生形成良好解题习惯的关键.

例1 已知a，b，c，d∈R，a2+b2=1，c2+d2=1，根据以上条件，求证ac+bd≤1.

为了鼓励学生自主发现错误，笔者提出了以下三个问题：①这么证明的理由是什么？②解题过程有没有问题？③此题涉及我们学过的哪些知识？

带着以上几个问题，学生进行了反思，很快就有学生提出：仅仅依靠ac+bd≤1，无法确定ac+bd≤1，还需要证明ac+bd≥－1成立. 如果ac+bd=－2，那么ac+bd≤1与ac+bd=－2之间就存在着矛盾. 由此可以确定以上证明过程存在着错误.

同时，学生还提出了正确的解题方法：想要证明ac+bd≤1，就需要证明 －1≤ac+bd≤1，利用作差法即可证明.

在此反思过程中，学生有了以下收获：①若证明不等式的问题中含有绝对值符号，首先要想到去绝对值符号的方法；②去掉绝对值符号后，应考虑周全，仅凭借一个不等式无法获得结论.

由此可见，及时反思是避免解题发生错误的关键. 教学中，学生解完题后应养成及时验证的习惯，并从自身的错误中汲取经验，在“吃一堑，长一智”中发展思维，提升解题能力，形成数学核心素养.

2. 变式反思，发展数学思维

教材中呈现的例题，一般比较经典且不难，但在实际应试中，压轴的综合题却比教材中所呈现的例题难度系数大很多. 为了训练学生的数学思维，让学生在遇到问题时做到随机应变，教师常用变式训练的方式启发学生的思维，加强学生反思能力的培养. 变式训练的方法有一题多解、多题一解或一题多变等.

（1）一题多解：如何引导学生从不同的角度研究同一道题，并从中得到不同的启示，是值得思考的问题. 一题多解完美地诠释了从不同角度分析问题时会产生不一样的解题过程. 学生的思维在不同的解题方法中往不同方向延伸，从而获得发散性思维.

（2）多题一解：我们接触的练习题，有些题本身没有任何难度，但解题过程中应用到的一些性质或结论却有异常重要的价值. 因此，教学中我们不能只满足于解题本身，而应以题为导火索，加强探索所涉及的一些知识、方法和性质，通过多解一题帮助学生理清知识的脉络，获得相应的内涵.

（3）一题多变：以一道题为题根，通过题设条件或结论的变化，形成不同的解题过程与方法. 这是一种创造性的解题训练. 学生在一题多变的训练中及时反思，能获得全面思考的能力，这也是促使学生发现、认识并建构新知的重要途径之一.

例2 已知点P为椭圆x2+2y2=98上的一个动点，求定点A（0，5）到动点P的最大距离AP的值.

本题对于学生而言，几乎都是手到擒来，毫无解题障碍，结论为AP=2. 就题论题，本题到此就结束了. 但我們解题的目的并非为了单纯地解决一道题，而是获得解决更多题的能力. 此时，教师可鼓励学生以此题为题根，将题设条件或结论进行改编，再次进行思考与研究.

变式1：已知点P为椭圆x2+2y2=98上的一个动点，求定点A（0，5）到动点P的最小距离AP的值.

变式2：已知点P为双曲线x2－2y2=98上的一个动点，求定点A（0，5）到动点P的最小距离AP的值.

变式3：已知点P为抛物线y2=2x上的一个动点，求定点A（0，5）到动点P的最小距离AP的值.

变式4：已知点P为椭圆x2+2y2=98上的一个动点，求定点A（0，a）（a＞0）到动点P的最大距离AP的值.

一题多变侧重训练学生的数学思维，让学生的思维随着问题的变化呈螺旋式上升. 学生对问题进行多向性探索和反思时，会形成广阔性、深刻性与发散性思维. 因此，变式反思对培养与发展学生的数学思维具有深远的影响.

3. 程序反思，实现知识迁移

每解完一道题，都应该对解题程序进行反思，以确认解题方向、思维模式以及所用的数学思想方法等是否准确，这对帮助学生实现知识迁移具有重要影响［3］.

此题不难，从解题过程来看，这里面运用到了一种重要而又独特的数学思想“估算法”，这种方法的应用，使得解题变得容易、便捷. 学生再次遇到类似问题时，可根据此题的解题方法实现知识的迁移，达到快速、精准解题的目的.

总之，解题反思是教学不可忽视的重要环节之一. 作为教师应带领学生积极地探索与反思，以激发学生的潜能，帮助学生深化对知识结构的理解，领悟相应的数学思想. 不论是教师还是学生，对于解题反思不能仅仅停留于浅尝辄止的表面，而应不断地往更高、更深的境地推进，以促进学生数学解题能力的形成与发展.

参考文献：

［1］  苏霍姆林斯基. 苏霍姆林斯基的教育箴言［M］. 朱永新，译. 北京：教育科学出版社，2017.

［2］  何云英. 准目标，习知识，炼方法，善反思——“相似三角形专题复习”课堂实录与思考［J］. 中学教研（数学），2016（09）：19-21.

［3］  韩龙淑，黄王珍. 数学教学中如何引导学生进行解题学习的反思［J］. 数学教学研究. 2006（03）：7-9.

作者简介：郭玉芳（1993—），硕士研究生，中学二级教师，从事高中数学教学工作.