李加禄

【摘要】 文章通过对一道竞赛试题深入探究，引导学生进行知识关联和知识检索，寻求一题多解，并深入挖掘试题的潜在价值，得到了一般化的结论.同时帮助学生掌握基础知识，提高解题能力，开阔解题视野，有效地培养学生思维的广阔性、深刻性和创新意识.

【关键词】 反比例函数；面积问题；一题多解；拓展变式

1 试题呈现

图1

例 如图1，反比例函数y=kx（x>0）的图象经过Rt△OAB直角边AB的中点，且与斜边OB交于点D.若△OCD 的面积为2，则k=.

分析 本题以平面直角坐标系为背景，以反比例函数图象为载体，重点考查学生的基础知识、基本技能、基本思想方法，是一道立意深远，应用价值和创新意识较好的试题.既注重数学思想方法应用，涉及方程思想、数形结合思想、化归思想、设而不求等常用数学思想方法，又紧扣核心素养的培养，突出考查学生的逻辑推理、数学运算、数学建模和直观想象的核心素养.而怎样转化条件“△OCD的面积为2”是解决本题的关键，其中条件“点C是线段AB中点”是解决本题的题眼，起着搭建桥梁的作用.因此只有聚焦△OCD的面积与中点条件展开知识关联，联想和转化，将陌生的问题转化为熟悉的知识，才能找到破解问题的方法.

2 解法探究

2.1 巧设坐标，利用坐标法求解

解法1 如图2，设Cm，km，则Bm，2km，易求直线OB解析式为y=2km2x，进而联立直线OB和双曲线解析式得方程组

y=2km2x，y=kx，

解得x=2m2，y=2km，

所以D2m2，2km，

由S△OCD=S△COB-S△BCD=2，得

12·BC·xB-12·BC·（xB-xD）=3，

化简得12·BC·xD=3，

则12·km·2m2=2，

解得k=4.

2.2 作垂线，三角形转化为梯形面积求解

解法2 图2

如图2，过点D作DE⊥x轴于点E，设Cm，km，则Bm，2km，易求直线OB解析式为y=2km2x，进而联立直线OB和双曲线解析式得方程组

y=2km2x，y=kx，

解得x=2m2，y=2km，

所以D2m2，2km，

因为S四边形OACD=S△OCD+S△OAC

=S△ODE+S梯形DEAC，

且根据反比例函数的性质得

S△OAC=S△ODE=k2，

所以S△OCD=S梯形DEAC，

即12（yC+yD）（xC-xD）=2，

将C，D坐标代入得

12km+2kmm-2m2=2，

化简解得k=4.

2.3 构造相似，利用相似三角形性质求解

解法3 如图2，过点D作DE⊥x轴于点E，因点C为AB中点，

所以S△OAC=S△OBC=k2，

进而S△OAB=k，

易证△ODE∽△OBA，

则S△ODES△OBA=ODOB2，

即k2k=ODOB2=12，

化简得ODOB=12，

又ODOB=S△ODCS△OBC，

于是S△ODCS△OBC=12，

则S△OBC=2S△ODC=2，

而S△OBC=k2=2，

解得k=4.

2.4 数形结合，利用解析法求解

解法4

如图3，过点D作DE⊥x轴于点E，交OC于点F，设直线OB，OC的解析式分别为y=mx和y=nx，联立方程组图3

y=mxy=kx，解得x=km，y=mk，

即Dkm，mk，

同理联立方程组

y=nx，y=kx， 解得x=kn，y=nk，

即Ckn，nk，

因为点C为AB中点，

所以Bkn，2nk，

進而Fkm，nkm，

DF=yD-yF=mk-nkm，

由S△OCD=12·OA·DF=2，

即12·kn·mk-nkm=2，

化简得k2mn-nm=2，①

又因点B在直线OD上，

于是将点Bkn，2nk代入y=mx，得m=2n，

即mn=2，

将其代入①式，得 k22-12=2，

解得k=4.

评注 上述四种解法都是从“斜△OCD”入手，展开联想，变通，构造，转化来寻求解题突破口.如解法1通过巧设中点C坐标，联立方程组求得点D坐标，再利用△OCD和△OCB的面积关系构造方程求解；解法2通过作垂线将“斜三角形面积”转化为直角梯形面积求解；解法3通过构造相似，利用相似三角形的面积比为相似比的平方进行转化得到OD和OB的数量关系，进而求得△BCD的面积，再利用图形面积关系构造方程求解；解法4通过联立直线与双曲线解析式构建方程组求得C，D坐标，将△OCD“转斜为直”，利用“铅垂法”求解.当然，这些解法都是借助图形的面积关系构造“k”的方程，而点的坐标与线段长的相互转化和构造基本图形是突破难点的关键，巧妙引入辅助未知数、整体代换、数形结合、设而不求思想是解决此类问题的常用方法.

3 变式拓展

“知其然，不如知其所以然，知其所以然，不如知其何以然”.我们只有弄清楚知识的来龙去脉，才能让问题的“源”，解法的“流”，更加自然流淌，让数学更有乐趣和味道.基于以上思考，对原问题进行以下变式拓展.

3.1 改变条件

变式1 图4

如图4，反比例函数y=kx（x>0）的图象与Rt△OAB直角边AB相交于点C，与斜边OB交于点D，且AC=23BC.若△OCD 的面積为2，则k的值为.

（答案为453）

变式2 如图4，反比例函数y=kx（x>0）的图象与Rt△OAB直角边AB相交于点C，与斜边OB交于点D，且OD=2BD.若△OCD 的面积为2，则k的值为.

（答案为1225）

3 2 结论与条件互换

变式3 如图5，反比例函数y=6x（x>0）的图象与Rt△OAB直角边AB相交于点C，与斜边OB交于点D，连接CD.若AC=23BC，则△OCD的面积为

（答案为91010）

3.3 推广

如图5，反比例函数y=kx（x>0）的图象与Rt△OAB直角边AB相交于点C，与斜边OB交于点D，且ACBC=mn，△OCD的面积为S，则：

（1）ODOB2=ACAB=mm+n；

（2）S=kn2m2+mn.

图5

解 如图5，过点D作DE⊥x轴于点E，易证

△ODE∽△OBA，

则S△ODES△OBA=ODOB2，

根据反比例函数的性质得

S△ODE=S△OAC=k2，

所以ODOB2=S△ODES△OBA=S△OACS△OBA=ACAB，

于是ODOB2=ACAB=mm+n，

进而S△ODES△OBA=mm+n，

所以ODOB=mm+n，

由S△ODCS△OBC=ODOB=mm+n，得

S△OBC=Sm+nm，

由S△ODES△OBA=mm+n，得

k2k2+Sm+nm=mm+n，

化简，整理得S=kn2m2+mn.

特别地，当点C为AB中点时，有m=n，则S=kn2m2+mn=k22，而本题中S=2代入，得k=4.通过对问题变式和一般化处理，很好地诠释了从特殊到一般，一般到特殊的数学方法，更好地揭示数学问题的本质和规律.

4 解题感悟

张景中院士认为：小巧一题一法，不应提倡，大巧法无定法，也确实太难，应提倡中巧，就是能够解决一类问题的算法或模式.所谓的中巧，就是数学解题中有章可循的通性通法.基于以上一题四法及对此类问题进行变式拓展，可以帮助我们在解决此类问题时有一个整体的认识，可以灵活应用，同时也为我们指明了解题思路和方向.通过探究结论一般化，探寻问题的通性通法，有助于学生对知识体系的深入理解，更好地帮助学生掌握基础知识，内化数学思想和方法，提高解题能力，开阔解题视野，从而有效培养学生思维的广阔性、深刻性和创新意识.