成 晟

(泰州市公路事业发展中心，泰州 225300)

沥青混凝土是一种优质筑路材料，在道路工程中被广泛应用。沥青混凝土由碎石骨料、沥青胶砂及空隙组成，为多相结构，能够承受车辆和环境荷载。目前在路面材料、结构的设计和研究中，多将沥青混凝土作为一种各向同性弹性材料进行应力、应变、弯沉和位移等方面的分析[1]，然而，该体系无法解释沥青路面的车辙、裂缝现象，也无法处理室内单轴试验和室外弯沉试验中沥青混凝土模量不一致的问题[2]。

沥青混凝土的主要病害如裂缝、车辙等和结构的微观力学性能密切相关。现有的研究主要局限在二维范围内有限元和离散元方法的数值模拟，而针对微观尺度内骨料与沥青胶砂相互作用的理论研究很少，参考价值有限。混合料微观性能的主要影响因素是沥青胶砂和骨料级配，因此有必要在三维尺度内研究骨料颗粒和沥青胶砂的相互作用对混合料性能的影响。

在散体力学中，可基于晶胞模型或相邻骨料接触数量以及应力应变均布假设建立结构模量模型，对岩土的动力特性进行分析[3-7]；在道路工程中，贝雷法将骨料堆积理论用于混合料级配研究[8]；随着计算机技术的发展，可结合二维成像技术和有限元方法进行骨料-胶砂相互作用计算[9]，离散元方法也被用于进行多相结构的力学模拟。

为研究沥青混合料内骨料与沥青胶砂的微观力学特性，本文基于面心立方晶胞结构和一维杆件接触模型，对接触响应与应力应变的相关性进行数学解析，在微观和宏观之间建立联系，并在此基础上分析沥青混合料的受力特性。

1 沥青混合料堆积模型

已知在构成沥青混合料级配的各尺寸颗粒中，形成骨架的最小颗粒与混合料力学性能之间的关系最为密切[8]，故本文只对单一尺寸颗粒进行计算。假设混合料堆积为面心立方结构，将一个堆积单元称为晶胞[10]，晶胞的骨料堆积模型如图1所示。

图1 晶胞的骨料堆积模型

用球体表示骨料，用杆件表示接触，得到晶胞的球棒模型如图2所示。在晶胞中，按照空间平均分配原则，一个面心骨料的数量记为1/2，一个角骨料数量记为1/8，则一个晶胞含4个骨料；一个内部接触记为1，一个表面接触记为1/2，则一个晶胞含24个接触，且所有接触杆件都位于ab、bc、ca平面内。

图2 晶胞的球棒模型

为分析骨料间的接触，将晶胞沿轴a、b、c扩展，得到空间扩展模型如图3所示。

图3 空间扩展模型

将图3中的骨料A和与它相连的所有接触杆件分离出来，得到骨料接触模型如图4所示。由图4可知，每个骨料都同时与12个骨料相邻，相邻的骨料间通过接触传递反力。

图4 骨料接触模型

混合料由晶胞重复堆叠而成，组成混合料的所有晶胞等效，故同一直线上的接触也等效，即

F1=F11,F2=F12,F3=F9,

F4=F10,F5=F7,F6=F8

式中，F指骨料间的接触反力。

因此A的12个接触可简化为6个，简化后对一个晶胞内的所有接触反力进行编号，晶胞接触反力如图5所示。

图5 晶胞接触反力

相邻骨料间可传递轴向力和剪切力，使接触产生拉伸、挤压、剪切、弯曲和扭转变形。考虑到结构本身为简化模型，计算复杂接触的意义不大，因此为方便计算，将所有接触假设为一维杆单元。

通过拌合沥青混凝土，使沥青胶砂在集料表面充分裹覆，然后经摊铺碾压成型，形成密实的堆积结构。在成型的混合料内部，骨料可以直接连接，也可以通过胶砂相连，内力为零(不同于岩石中存在天然挤压力)。

令骨料劲度系数为ka，胶砂劲度系数为kc，将接触近似为一维杆件后，杆件的力学模型有两种可能性：

(1)挤压时骨料直接受力，劲度系数为ka；拉伸时接触反力通过胶砂传递，劲度系数为kc。

(2)骨料和胶砂串联后共同参与受力，劲度系数取k=kakc/(ka+kc)。

下文中晶胞的压缩、拉伸和剪切全部按可能性(1)进行计算。

2 晶胞受力模型

晶胞单元所受应力如图6所示，晶胞所受正应力和切应力分别为σ、τ，应力符号遵循弹性力学规定(截面方向沿坐标轴正方向时，应力分量以沿坐标轴正向为正；截面方向沿坐标轴反方向时，应力分量以沿坐标轴反向为正[11])。分别计算晶胞在单轴压缩、单轴拉伸和剪切作用下的响应，其他受力情形可看作这三种工况的组合，在小变形假设下通过叠加法求解[3,11]。

图6 晶胞单元所受应力

令晶胞边长为s，骨料半径为r，则有

(1)

在晶胞的外表面，骨料受力按面积平均分配，由此可得中心骨料受到的正向力和切向力分别为σs2/2和τs2/2，角骨料受到的正向力和切向力分别为σs2/8和τs2/8。

3 接触反力计算

晶胞为杆件组成的超静定结构，根据平衡方程计算接触反力时，可采用如图7所示的截断法，利用结构的对称性，通过截断的3个角骨料，计算出全部6个接触反力的大小。需要注意的是，晶胞外表面的接触杆件只有一半参与晶胞受力。

图7 截断法

单轴拉伸/压缩时，接触反力的计算公式为

(2)

剪切时，接触反力的计算公式为

F1=F3=F5=F6=0

(3)

综上可知：

(1)在无侧限拉伸或压缩时，混合料内部骨料间同时存在大小相等的挤压作用和拉伸作用。面层混凝土承受车辆荷载作用时，底面附近同时存在c方向的压应力和a、b方向的拉应力，这两股应力都会对ab平面内的接触产生拉伸反力。

(2)相同应力条件下，接触反力与晶胞边长的平方成正比，即骨料越大，接触反力越大。

(3)剪应力产生的接触反力数值是同等水平正应力的两倍，更易导致裂缝扩展。

4 骨料接触变形计算

利用协调方程计算骨料变形情况，取部分骨料和接触进行变形分析，变形模型如图8所示。分析时分单轴压缩、单轴拉伸和剪切三种情况分别进行计算，其他工况可通过叠加法求解。

图8 变形模型

4.1 单轴压缩

(4)

解此方程组，得到

(5)

求得相应的晶胞应变为

(6)

结构弹性模量和泊松比分别为

(7)

4.2 单轴拉伸

与单轴压缩计算步骤相同，只需将ka和kc互换，求得应变、弹性模量和泊松比分别为

(8)

(9)

令ka/kc=μ，由式(7)和式(8)得到

(10)

综上可知，压缩模量与拉伸模量之比受骨料和沥青胶砂刚度影响，位于(0.5，2)区间。

4.3 剪切

晶胞正视图在剪力作用下的剪切变形如图9所示，骨料B、C、D、F在剪力作用下分别移动到了B′、C′、D′、F′位置。

图9 晶胞正视图在剪力作用下的剪切变形

(11)

将

代入协调方程，求得

(12)

令晶胞中心为O，则切应变为

(13)

对应的剪切模量为

(14)

5 骨料-胶砂串联模型

在第二种接触模型中，混合料压缩和拉伸时的劲度系数都为k，将式(7)和式(14)中的ka、kc用k代替，得到结构的弹性模量、泊松比和剪切模量分别为

(15)

其中，k=kakc/(ka+kc)。

由式(15)可知

(16)

可见面心立方结构的弹性模量与剪切模量关系不满足弹性力学的各向同性约定，这是因为晶胞受剪时，只有bc平面的8个接触参与受力，这意味着散体堆积结构可能存在薄弱的受力方向，更易产生永久变形。

6 混合料接触拉力计算

基于晶胞模型计算AC-13、SMA-13、OGFC-13三种混合料在竖向车轮荷载(0.7 MPa)作用下骨料间接触所承受的拉力。

6.1 混合料级配

级配全部取规范中值，混合料通过率如表1所示，公称最大粒径(D)为13.2 mm，关键性筛孔(PCS)为2.32 mm[8,12]。

表1 混合料通过率

贝雷法认为大于PCS的粗骨料会形成混合料骨架，小于PCS的细集料则填充骨架空隙，尺寸位于一半公称最大粒径(D/2)与PCS之间的集料因无法填充进骨架空隙，会对混合料骨架形成干扰；用CA比进行评价，CA比越大，干扰越明显，建议CA比上限为0.65。CA比计算公式为

(17)

式中，PPCS为2.36 mm筛孔通过率，PD/2为公称最大粒径的一半(6.6 mm)所对应的筛孔通过率，可由9.5 mm和4.75 mm筛孔通过率插值得到。

由式(17)算得三种混合料对应的CA比分别为0.66、0.34、0.40。

6.2 骨架最小颗粒

计算接触反力计算前，需先确定形成骨架的最小颗粒尺寸。

(1)SMA-13混合料将4.75 mm以上粗集料骨架间隙率作为级配设计的关键控制指标，即4.75 mm 以上集料形成骨架、4.75 mm以下填隙[12]；由于9.5 mm筛孔通过率达到62.5%，故近似取(9.5+4.75)/2=7.1 mm 作为SMA-13混合料骨架的最小颗粒尺寸。

(2)AC-13混合料为连续级配且CA比超过建议上限，粗集料骨架受到干扰，由于贝雷法认为2.36 mm以下细集料不参与粗集料骨架，故可将(6.6+2.36)/2=4.5 mm作为骨架最小颗粒。

(3)OGFC-13混合料的CA比较之SMA-13混合料略大，主要原因是为保证混合料空隙率，OGFC-13混合料的PPCS更小[12]。考虑到OGFC-13混合料的CA比未超过建议上限，且9.5 mm筛孔通过率比SMA-13混合料大而4.75 mm筛孔通过率比SMA-13混合料小，故也将7.1 mm作为OGFC-13混合料骨架的最小颗粒尺寸。

6.3 接触拉力计算

将颗粒尺寸代入式(2)，求得不同级配混合料骨料间接触在竖向车轮荷载作用下产生的拉力：AC-13 混合料为5.01 N，SMA-13混合料和OGFC-13混合料均为12.48 N。

虽然与SMA-13混合料的接触拉力相同，但OGFC-13混合料将沥青膜厚度作为配合比控制指标[12]，形成的混合料骨架空隙很大，参与接触的沥青胶浆很少，故骨料间的拉应力更大。

7 结论

基于晶胞无限堆叠模型和均匀受力假设，在三维尺度，基于单一骨料尺寸对沥青混合料在外荷载作用下的微观响应进行分析。一维杆件接触模型简化了计算复杂度，有利于在宏观荷载和微观接触间建立公式关系，方便工程应用。若考虑接触的剪切、弯曲和扭转效应，由晶胞结构和弹性本构关系可知，不会影响总体分析结果。

通过计算骨料颗粒与胶结料的相互作用、骨料尺寸与内力分配关系以及混合料受力变形特征，得到以下结论：轴向力作用下骨料间会产生同等样大小的挤压和拉伸作用；荷载产生的接触反力大小与骨料尺寸的平方成正比；随着骨料和沥青胶砂弹性模量的变化，混合料的压缩与拉伸模量比在0.5～2之间波动；由骨料堆积形成的沥青混合料内部可能存在薄弱受力面，导致裂缝或永久变形的发展。

基于以上模型对AC-13、SMA-13、OGFC-13三种混合料在竖向车轮荷载作用下的接触拉力进行了数值计算，结果显示因AC-13混合料骨架颗粒最小，拉应力也最小，OGFC-13混合料虽然与SMA-13混合料骨架颗粒尺寸相同，但因颗粒间沥青胶砂较少，因而拉应力最大。

以上结论可以为工程设计提供参考，但实际沥青混合料尺寸有限，骨料接触数量不确定，只在局部受力，并且存在边界约束，因此荷载作用下沥青混合料的微观响应还需进行进一步研究。