姚梦媛，卢长娜

(1.南京信息工程大学 大气科学学院，江苏 南京 210044；2.南京信息工程大学 数学与统计学院，江苏 南京 210044)

0 引 言

在工程与科学计算中，有着大量的非线性方程f(x)=0求根问题，其中很多问题是无法求得精确解x*的，一般通过数值方法求近似解x.迭代法是方程求根问题中常用的数值方法.

牛顿法(Newton-Raphson method，简称NR法)具有简单的迭代格式和较快的收敛速度[1].近年来，很多学者对其进行了广泛研究，并提出了各种改进的牛顿法.

文献[2]提出了算术平均牛顿法(Trapezoidal Newton Method，简称TN法)，并利用梯形公式近似定积分，证明了该方法三阶收敛.其具体迭代格式为：

文献[3]提出了Simpson牛顿法(Simpson Newton Method，简称SN法)，并利用Simpson公式代替文献[2]中的梯形公式，证明了该方法三阶收敛.其具体迭代格式为：

文献[4]～[7]分别利用其他数值积分代替f(x)，提出了与文献[2]和[3]不同的数值积分型牛顿迭代格式.文献[8]利用Simpson格式的反函数，提出了两种二阶收敛Homeier Simpson牛顿法，简称HSN和HSN1方法，即：

和

当一阶导数趋于0时，牛顿迭代格式无法进行，只能以文献[4]～[7]的牛顿类迭代格式为预估，以TN法为校正.而文献[9]和[10]提出的五阶牛顿法和带参数的四阶牛顿弦截法很好地克服了该缺点.文献[11]以先预估后矫正的思想为基础，提出了一类至少具有二阶收敛速度的含双参数的改进型牛顿迭代法.

基于以上研究，本文将牛顿法与数值积分结合，采用高斯公式进行数值积分，提出一种新的迭代方法——高斯-勒让德牛顿法(Gauss-Legendre Newton Method，简称GN法)，并给出收敛阶证明.

1 衡量参数

为描述……