孙 敏，葛 静

(枣庄学院 数学与统计学院，山东 枣庄 277160)

0 引言

方程的概念与方法已经应用到自然科学与社会科学的各个领域，在生产生活中有着广泛的应用，可以描述经济、管理、物理、工程与社会科学等领域中的许多问题。比如，在管理领域中的互补问题及变分不等式问题，通过投影算子可以转化成一个非线性方程[1]；在物理领域中的Poisson问题，通过区域离散化及导数的差商近似可以转化成一个线性方程[2]。寻找非线性方程的解析解与数值解已经成为数学与物理的一个重要研究课题[3]，相应的研究成果浩如烟海，比较经典的有求解线性代数方程的Gauss消去法、直接三角分解法、Jacobi迭代法、超松弛迭代法与共轭梯度法，以及求解非线性方程的不动点迭代法、Aitken加速法、Newton迭代法与割线法等[3-4]。

目前，学术界主要研究时不变非线性方程，由于时不变线性方程没有考虑时间参数，因此其不能细致地描述时变问题[5]。相比于时不变问题，时变问题是自然科学领域里更常见的一类问题。比如，对于冗余机械臂路径规划的实时控制问题，在每个时刻点，末端执行器的位置是不同的，设计者需要根据末端执行器的位置实时确定连杆的角度，因而该问题是一类时变问题。为了更稳健地完成路径规划，Zhang等[6-8]进行了系统的研究，建立了该问题的时变非线性方程模型、时变二次规划模型等，并提出了一系列求解算法，包括梯度神经网络、零化神经网络、递归神经网络、原始-对偶神经网络、零化-梯度神经网络等，并对这些神经网络的离散格式进行了系统研究。……