贾国庆， 霍真如， 易辉跃， 房卫东， 许 晖

(1.青海民族大学 物理与电子信息工程学院， 青海 西宁 810007； 2.中国科学院 上海微系统与 信息技术研究所， 上海 201899； 3.上海无线通信研究中心， 上海 201210)

0 引 言

随着物联网[1]和区块链[2]等信息技术的发展，加速度传感器被应用到众多领域。通过分析加速度传感器采集的信号可以得到被测对象的特征信息，对加速度信号处理尤为重要。卡尔曼滤波[3]能够处理时变系统、非平稳和多维信号，当信号发生急剧变化时会产生较大的误差。小波变换[4]对高斯白噪声的处理有着显著的影响，在处理过程中，小波基和分解层的不当选择将导致含噪信号自适应去噪的失败。经验模态分解(Empirical mode decomposition，EMD)[5]可以将复杂信号分解为平滑的数据序列集，根据信号特征进行自适应处理，但EMD算法易出现模态混叠，且具有端点效应。Konstantin等[6]提出了变分模态分解(Variational mode decomposition，VMD)，VMD是一种自适应信号处理算法，其处理非线性和非平稳信号具有明显优势且运算效率高，可克服 EMD 中存在的模态混叠问题。但VMD分解结果的好坏受限于模态数和惩罚参数的选择，且重构信号的分量选取也是降噪效果好坏的关键因素。加速度传感器无输入原信号，测得的数据本身含噪声，无法通过与原信号互相关的关系选择重构的分量。通过依据峭度准则选择重构的模态分量会舍弃含噪的模态分量，丢失信号部分信息。为了克服现有VMD算法的缺陷，提出一种改进的VMD算法，通过建立的模态分解数与输入信号样本熵关系模型确定模态分解数，根据计算模态分量的样本熵确定最优的模态分量，经数据平滑处理后进行重构，对加速度信号进行处理能够更有效地滤除噪声和改善加速度信号的质量。

1 VMD原理

VMD分解通过迭代的方式搜寻最优变分模型来确定各个模态分量的中心频率及频带宽度，实现信号的频域及每个模态分量的自适应部分。假设原输入信号为f(t)，则变分模型约束表达式[6]为

(1)

式中：u——分解后的K个模态分量，{u}={u1,u2,…，uk}，k=1,2,…,K；

ω——K个模态分量的中心频率，{ω}={ω1,ω2,…，ωk}。

引入二次惩罚因子α改善信号收敛性，拉格朗日乘法算子λ的作用是为了强制执行约束，更好地求解变分约束的最优解，其中，α为足够大的正数，还能在受到高斯噪声产生的影响下保障信号的重构精度，λ可以令约束条件保持稳定严格性。扩展的拉格朗日表达式[6]为

({uk},{ωk},λ)=

(2)

(2)n=n+1、k=k+1执行循环，当达到预设K时终止循环。模态分量及中心频率更新公式分别为

(3)

(4)

(5)

ε——判别精度，输出K个模态分量，否则，返回步骤(2)。

2 样本熵

样本熵的计算不依赖数据长度且具有良好的一致性，其是样本熵具备的优势。样本熵计算步骤如下[8]：

(1)由N个数据组成的时间序列x(n)=x(1),x(2),…,x(n)的一组维数为m的向量序列Xm(1),Xm(2),…,Xm(N-m+1)，其中，Xm(i)={x(i),x(i+1),…,x(i+m-1)}，1≤i≤N-m+1。

(2)定义向量Xm(i)与Xm(j)之间的距离d[Xm(i),Xm(j)]，是两者对应元素中最大差值的绝对值为

d[Xm(i),Xm(j)]=maxk=0,1,…,m-1(|x(i+k)-

x(j+k)|)。

(6)

(7)

(8)

(9)

3 改进VMD算法

3.1 分解模态数

在VMD算法中，分解模态数k值的选取比较重要，取值过小会导致欠分解，取值过大容易产生过分解现象，以上两种情况均会对信号的重构产生不良影响，取得正确的k值是VMD分解的关键步骤。

经研究发现，VMD分解层数k与输入信号的样本熵有关，熵值越大，信号中各个频率越多，VMD分解模态数越大；熵越小，信号中频率越少，VMD分解模态数越小。因此，通过数据分析，建立了k与输入信号样本熵S的关系模型为

(10)

通过计算信号的样本熵，用该关系模型确定信号的分解模态数。

3.2 二次惩罚因子

通过多次仿真分析得出，对加速度信号进行VMD分解，在得到的模态分量中，第一个模态分量的样本熵值最小，通过预先设定的取值范围为100～2 000，以步长为100，取不同的α值对信号进行VMD分解，计算每次分解得到的第一个模态分量的样本熵，选择样本熵最小的α值作为VMD分解惩罚参数。

3.3 重构信号的分量选取及处理

对经过VMD分解后的信号进行重构时，需要去除其中的噪声和无效分量，可通过计算各个分量信号的样本熵来确定重构的分量信号。经过多次仿真实验VMD分解加速度信号，样本熵小于0.3的分量信号包含了纯净信号和含噪信号，噪声信号的样本熵大于0.3，因此，选择样本熵小于0.3的分量信号通过高斯平滑滤波函数[9]经数据平滑处理后重构。数据平滑处理目的是为了减小噪声信号的影响和提高信噪比。

3.4 改进VMD算法流程

改进VMD算法的流程如图1所示。

改进VMD算法流程如下：

(1)计算输入信号样本熵根据式(10)确定分解模态数k。

(2)预先设定α的取值范围，取不同的α值对信号进行VMD分解，计算每次分解得到的模态分量样本熵，选择样本熵最小的α值作为VMD分解惩罚参数。初始化VMD算法中其他参数，噪声容忍度τ、直流分量、中心频率和收敛准则容忍度。

(3)计算分解得到的k个模态分量的样本熵，选择样本熵小于0.3的分量进行数据平滑处理。

(4)对经过数据平滑处理后的分量进行重构，得到降噪后的信号。

3.5 改进VMD算法分析

设置VMD的输入信号为

y(t)=x1(t)+x2(t)+x3(t)

其中，t=[0,50,200]，50为步长，对y(t)添加信噪比10 dB的高斯白噪声得到信号y1(t)如图2所示。x1(t)、x2(t)、x3(t)信号波形如图3所示。

计算得到y1(t)的样本熵S(y1)=1.192 9，根据VMD分解模态数k与输入信号样本熵S的关系模型可得k=4，计算最优二次惩罚因子α，经分解得到的信号分别为u1(t)、u2(t)、u3(t)、u4(t)波形如图4所示。VMD分解输出信号的频谱图如图5所示，得到的频谱峰值频率与输入信号的频率一致，因此，可以验证改进VMD方法的可行性，可应用于分析实测数据。

为了对比分析不同方法的降噪效果，选用信噪比和均方误差作为降噪的评价指标。信噪比越大则表明加速度信号的信息量越大，降噪效果越好；而均方误差越小，则降噪后的加速度信号中有用信号的成分越多，降噪效果越好。对xn(t)信号分别利用VMD分解、卡尔曼滤波、经验模态分解、小波阈值处理、数据平滑处理和改进VMD方法进行降噪处理。几种方法的均方误差如图6所示，几种方法的信噪比对比结果如图7所示。

采用加速度传感器QMI8610采集z轴加速度信号，采样频率为512 Hz， 经VMD算法和改进VMD算法对原信号进行降噪对比结果如图8所示。与VMD算法相比，改进VMD算法更完整的保留了加速度信号特征的同时具有更好的降噪性能。

采用VMD算法和改进的VMD算法对采集的加速度信号降噪，其均方差和信噪比对比结果，VMD算法的MSE值为0.013 5，SNR为-3.13 dB。改进的VMD算法的MSE值为0.008 8， 信噪比SNR为1.49。改进的VMD算法较VMD算法对加速度信号降噪后的均方差和信噪比均有所改善。

由图6和7可以看出，对模拟加速度信号添加相同的噪声含量时，利用改进VMD方法对含噪模拟加速度信号降噪后，信号的信噪比最大，而利用VMD分解、卡尔曼滤波、经验模态分解、小波阈值处理、数据平滑处理等方法降噪处理后，虽然信号的信噪比有所提高，但明显低于改进VMD方法降噪后的信噪比；在添加不同的噪声含量时，改进VMD方法降噪后信号的均方误差值最小；当含噪声模拟加速度信号降噪前的信噪比增加时，改进VMD方法降噪后的信噪比有明显提升，说明在含有不同噪声量的情况下，提出的改进VMD方法降噪效果较好，在滤除噪声的同时能较好地保留有用信号，相比VMD分解、卡尔曼滤波、经验模态分解、小波阈值处理、数据平滑处理等方法具有更好的降噪效果。

4 结 论

(1)改进VMD方法通过信号样本熵确定分解模态数和惩罚参数，使结果更加准确，改进VMD方法对满足条件的模态分量重构前进行了数据平滑处理，得到了更好的加速度信号降噪效果。

(2)改进VMD方法选取了最优的模态分量进行重构，更完整地保留加速度信号特征，有利于提高后续速度和位移等参数的精度。相比于传统的VMD算法所提改进变分模态分解算法的均方误差降低了3%，信噪比提升了12.35%。