全 旭，刘 嵩

(湖北民族大学 智能科学与工程学院，湖北 恩施 445000)

1971年美国加州大学华裔教授蔡绍棠首次提出忆阻器元器件，该元件是一种非线性无源两端口元件，与电阻、电感、电容等常规电路元件不同[1].2008年，惠普实验室的研究人员首次制作出纳米忆阻器的实物，验证了蔡绍棠教授的猜想[2].忆阻器因其自身的记忆功能和非线性特性在混沌电路[3-4]、神经网络[5-6]、图像加密[7-8]和同步控制[9]等方面有着广阔的应用前景，但目前尚未广泛使用.由于忆阻器的非线性和记忆特性，作为混沌系统的反馈项，它可以产生复杂的非线性动力学现象，为忆阻混沌系统和忆阻超混沌系统的设计提供了新的发展空间.

近年来，对忆阻混沌系统控制方法的研究，引起了国内外学者的关注，学者们以经典控制理论[10]为基础提出多种混沌控制方法：脉冲同步方法[11]、自适应控制方法[12]、滑模控制方法[13]、时滞反馈控制方法[14]、线性反馈控制方法[15]、非线性反馈控制方法[16]等.引入忆阻器后的混沌系统的动力学行为更加丰富[17-20]，需要根据所设计混沌系统的动力学特性，通过建模和仿真选择对应的控制方法，使混沌系统产生的混沌信号可从混沌态控制到周期态，也是现在混沌控制研究的一个热点[21].

目前在构造忆阻超混沌系统时，主要有以下两种实现方法：一是用忆阻器作为反馈项引入混沌系统中产生超混沌吸引子[18].阮静雅等[22]将二次型磁控忆阻器作为正反馈项构建了Lorenz超混沌系统.Ma等[23]通过在一个伪四翼系统中引入磁控忆阻器，并加入一项复合项，产生了真正的四翼超混沌吸引子.二是用忆阻器替代原电路的线性和非线性器件.闵富红等[24]用一个双曲型磁控忆阻器替换了蔡氏电路中的蔡氏二极管，又用一个同型的忆阻器与电路中的电阻串联，产生了一个多稳态超混沌吸引子.Zhou等[25]利用磁通控制的忆阻器代替改进的Lü系统电路中的电阻，产生了一个超混沌的多翼吸引子，但电路不易实现.本文将一种二次型磁控忆阻器模型引入到文献[26]提出的三维混沌系统，提出一种新的四阶多翼忆阻超混沌系统.然后，通过Multisim设计出相应的仿真电路，验证新混沌系统的正确性和可行性.最后，利用线性反馈法实现控制.

1 新混沌系统的构建

将二次型磁控忆阻器[27]作为正反馈项引入到文献[26]，提出的三维混沌系统的第1个方程，将流经忆阻器的磁通表示为第4个状态变量u，状态变量y则为忆阻器两端的电压，其中引入正参数k为忆阻强度，可得到一个新的四维忆阻超混沌系统，它的系统模型如下：

(1)

其中a、b、c、d、h、k是系统参数，x、y、z、u为系统变量.W(u)为磁通忆阻器的数学模型，其表达式为：W(u)=α+βu2，式中正实数α和β为忆阻内部参数，取α=1，β=0.02.

当系统参数固定为a=2.5,b=3,c=8,d=11,h=0.5,k=-1.1，且初始条件为(0.5,1,0.5,1)，忆阻超混沌系统(1)产生的多翼超混沌吸引子，如图1所示.由Wolf算法[28]计算得到的系统(1)的Lyapunov指数为LE1=0.570 3,LE2=0.088 5,LE3=-0.095 7,LE4=-9.408 0，其中两个指数大于零，两个指数小于零，且Lyapunov维数为dL=3.059 8，显然，系统(1)是超混沌的.

(a)x-y平面 (b) x-z平面

(c) y-z平面 (d) x-y-z图1 系统(1)的吸引子相图Fig.1 Attractor phase diagram of system (1)

特别地，该系统为多翼超混沌系统，对系统参数具有很高的敏感性，当系统参数变化时，吸引子对应的翅膀数也会变化.在忆阻强度k取-0.12和-0.7时，系统(1)可以得到双翼和三翼混沌吸引子，如图2所示，可以看出系统(1)是在双翼、三翼、四翼状态下过渡.

(a)双翼混沌吸引子x-y平面 (b)双翼混沌吸引子x-z平面

(c)三翼混沌吸引子x-y平面 (d)三翼混沌吸引子x-z平面图2 系统(1)的双翼和三翼相图Fig.2 Two wing and three wing phase diagrams of system (1)

2 系统的动力学特性分析

2.1 对称性分析

由于系统(x,y,z,u)↔(x,-y,-z,-u)，(x,y,z,u)↔(-x,y,-z,-u)和(x,y,z,u)↔(-x,-y,z,-u)的坐标变换下系统还能保持不变，所以该系统分别关于x轴、y轴和z轴对称，同时，这种对称关系对系统所有的参数均成立.

2.2 耗散性分析

对于系统(1)有

(2)

说明系统(1)是耗散的，故当t→∞时，包含系统(1)轨线的每个体积元都以指数形式从-10.5收缩到0，它的渐近动力学行为最终会被固定在吸引子上面，因此系统(1)存在超混沌吸引子.

2.3 系统的平衡点集和稳定性

(3)

得到系统(1)的平衡点集为集合A={(x,y,z,u)|x=y=z=0,u=p}，其中p为实常数，即u坐标上所有的点均为平衡点，系统存在无限的平衡点集.系统(1)在平衡点处Jacobi矩阵JA为

(4)

求得平衡点集A的特征方程为 -λ(-a-λ)(b-λ)(-d-λ)=0.

(5)

选取数值仿真时所采用的参数，在这里取平衡点p=0，可求解出Jacobi矩阵J的特征值分别为:λ1=0,λ2=a,λ3=b,λ4=-d.当a=2.5、c=8、d=11时根据Routh-Hurwitz稳定判据，平衡点A是不稳定的鞍点.

2.4 Poincaré截面

Poincaré截面分析是指在多维空间内选取一个截面，当Poincaré截面上的图形是一定范围内的连续曲线或成片密集点的时候，运动状态为混沌.当a=2.5,b=3,c=8,d=11,h=0.5,k=-1.1，初始值取(0.5,1,0.5,1)时，运用Matlab ODE23算法作为分析工具对式(1)进行求解，可得忆阻超混沌系统在截面y=0和z=0上的Poincaré截面，分别如图3(a)和(b)所示.可以看出，Poincaré截面上形成了具有分形结构的密集点，且聚集点呈分形分布结构，表明了图1所示的多翼超混沌吸引子的存在.

(a) 状态变量y的Poincaré截面 (b) 状态变量z的Poincaré截面图3 状态变量y和z的Poincaré截面Fig.3 Poincaré section of state variable y and z

2.5 忆阻超混沌系统的动力学特性分析

系统(1)存在无限的平衡点集，因此新设计的忆阻超混沌系统具有丰富的动力学行为，比如周期、准周期、正向倍周期分岔、切分岔、混沌危机、弱混沌、瞬时混沌、瞬时超混沌等动力学特征.为了进一步研究和分析新系统的超混沌动力学特性，固定参数a=2.5,b=3,c=8,d=11,k=-1.1,h=0.5和初始条件(0.5,1,0.5,1)，而参数a和k独立可调，在这里借用Lyapunov指数谱和分岔图等常规的动力学分析工具，对系统(1)随着系统参数a、k变化的动力学行为进行研究.

1) 当a∈(10,60)时，绘制系统的Lyapunov指数谱和随a变化的状态变量x的分岔图如图4所示，可见a由0增加到10.27时，此时系统处于混沌状态.当a∈(10.27,14.60)时，第1根Lyapunov指数谱LE1交替穿过零线，LE2,3,4对应的Lyapunov指数均小于0，说明当a增加时，系统的动力学行为在混沌与周期之间变化.当a∈(14.60,23.94)时，系统在混沌-超混沌-周期-超混沌之间变化，其中在(15.61,15.72)和(16.07,16.17)等几个有限时间区间里，如图4(a)所示，系统具有2根正值Lyapunov指数谱，此时的系统处于瞬态超混沌状态.特别是a在16.73与17.60之间时，系统显示有两个周期窗.当a∈(23.94,24.58)时，系统从超混沌状态进入混沌状态.当a=24.61时，系统从倍周期分岔进入混沌状态，同时有弱混沌现象.在a>56.61之后，4个Lyapunov指数均小于0，结合图4(b)的分岔图分析，发现系统的动力学随a的演化从混沌状态转移为周期行为，并最终进入稳定状态.

(a) 随a变化的Lyapunov指数谱图 (b) 随a变化的状态变量x的分岔图图4 随系统参数a变化的超混沌动力学Fig.4 Hyperchaotic dynamics varying with system parameters a

2) 当k∈(-1.5，1.5)时，步长为0.01，去除暂态部分1 000个点，系统的Lyapunov指数谱及状态变量y随k变化的分岔图如图5所示.可见，Lyapunov指数谱与分岔图相吻合.当参数k从-1.5开始，在参数k∈(-1.50，-1.42)时，结合图5(b)的分岔图进行分析，发现系统(1)在混沌-超混沌-混沌-超混沌状态下来回切换；当参数k=-0.09时，λ1对应的第1根Lyapunov指数谱与零线相切，图5(a)中对应的4个Lyapunov指数分别为λ1=0.000 2,λ2=-0.012 2,λ3=-0.164 7,λ4=-10.270 0，其中有1个指数逼近于零，3个指数小于零，可以判断此时系统以周期轨道运行，如图6(a)所示.当系统在k=1.5时，系统从混沌状态过渡到弱混沌状态，如图6(b)所示.

(a) 随k变化的Lyapunov指数谱图 (b) 随k变化的状态变量y的分岔图图5 随系统参数k变化的超混沌动力学Fig.5 Hyperchaotic dynamics varying with system parameters k

(a) k=-0.09时的相图 (b) k=1.5时的相图 图6 系统(1)随参数k变化的相图Fig.6 Phase diagram of system (1) varying with parameter k

3 系统电路实现

3.1 电路设计

在超混沌系统应用于工程应用之前，用物理电路实现超混沌系统是非常重要的.系统(1)是通过如图7所示的电子电路实现的.分别用C1、C2、C3、C4的电压作为x、y、z、u.运算放大器LF347Ns和相关电路执行加、减和积分的基本运算，如图7中的U1、U2、U3、U4、U5.乘法运算由模拟乘法器AD633完成,如图7中的A1、A2、A3、A4、A5、A6.通过Matlab仿真可得，当系统(1)的状态变量作为运算放大器等器件电压量时，其范围会超出规定的线性动态范围，故需要对系统(1)的状态变量做比例压缩变换.设kx→x,ky→y,kz→z，其中k为变量压缩比例，设k=4，并将系统(1)进行时间尺度变换，尺度变换因子τ0=1 000.

图7 系统(1)的模块化电路设计Fig.7 Modular circuit design diagram of system (1)

新构建的忆阻超混沌系统的电路状态方程可写成：

(6)

(7)

根据式(7)得系统(1)的运算放大器电路设计结果如图7所示.

3.2 仿真结果

根据上述的电路方程在Multisim平台上搭建运算放大器电路进行仿真验证，通过比较式(6)和式(7)方程右侧对应的状态变量系数，当参数a=2.5,b=3,c=8,d=11,h=0.5,k=-1.1时，计算得出各个元器件的数值为C1=C2=C3=C4=100 nF,R1=R6=R7=Ra=10 kΩ,R2=4 kΩ,R3=R5=0.25 kΩ,R4=3.33 kΩ,R8=0.03 kΩ,R9=0.91 kΩ,R10=2 kΩ,Rb=4 545.5 kΩ,Rc=90.91 kΩ，在调整步长等相关参数后，得到系统(1)的仿真图如图8所示.通过将图8的电路仿真图和图1的相图对比可得，运算放大器电路的仿真结果与前面的数值仿真结果基本一致，再次验证了新系统的物理可实现性和正确性，后续可将该系统应用到图像加密和混沌控制设计等相关方面.

(a) x-y平面相图 (b) x-z平面相图

(c) y-z平面相图 (d) x-u平面相图图8 系统(1)不同平面下的电路仿真图Fig.8 Circuit simulation diagram of system (1) under different planes

4 系统的线性反馈控制设计

4.1 受控系统的数学模型

为调试反馈控制的相关参数，先将系统(1)变换为

(8)

系统(8)加上线性反馈控制器后的数学模型为

(9)

其中a=2.5,b=3,c=8,d=11,h=0.5,k=-1.1.s为控制参数，取s=-2.9可使混沌系统的轨道稳定于平衡点.

4.2 受控系统的控制分析

固定系统参数a=2.5,b=3,c=8,d=11,h=0.5,k=-1.1，控制参数s>0.504 7，取步长h=0.001，响应系统的初始值为x2(0)=0.001,y2(0)=0.001,z2(0)=0.001,u2(0)=0.001，驱动系统的初始值为(0.5,1,0.5,1)时，受控前随时间变化的系统状态变量x、y、z、u仿真图如图9(a)所示.加上线性反馈控制器后，系统状态变量x、y、z、u随时间变化的仿真图如图9(b)所示.可见，当t接近2、2、40和50 s时，x(t)、y(t)、z(t)和u(t)分别稳定到了0、0、0和常数P，此时的常数P为0.综上可得，受控系统(9)被稳定到平衡点O.

(a) 受控前系统运动 (b)受控后系统运动图9 受控前后系统运动图形Fig.9 System motion graphics before and after control

5 结语

将二次型磁控忆阻器引入三维混沌系统中，提出了一种新的多翼忆阻超混沌系统.新的超混沌系统可以产生一个具有无限平衡特征的四翼超混沌吸引子，且新产生的混沌吸引子更加稳定、可靠.然后从平衡点、Lyapunov指数谱和分岔图等方面综合分析了该系统的动力学特性.并且验证了新系统随着控制参数的变化，存在多翼变换和瞬态超混沌行为.然后设计出该系统对应的仿真电路图，仿真结果和数值计算结果一致.最后，利用线性反馈控制方法实现了对该系统稳定于平衡点的混沌控制.