曹文科

引言

在几何解题教学过程中，老师除了分析题目的背景、条件、结论，寻求解决题目的突破口，更要引导学生从不同角度、不同层面，用不同方法去解决题目，更进一步地要引导学生对题目的条件跟结论进行变式，从而达到触类旁通，豁然开朗的效果.本人拟以区青年教师技能比赛解题说题环节中的一道题目为例进行剖析，以求抛砖引玉.

一、试题再现与鉴赏

题目：如图1，∆ABC内接于ʘO，且AB为ʘO的直径，∠ACB的平分线交ʘO于点D，过点D在AD左侧作∠ADP=∠BCD，交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E.

（1）求证：DP//AB;

（2）求证：PD是ʘO的切线;

（3）若AC=6，BC=8，求线段PD的长.

本题是新人教版数学九年级上册教材第87页例4的拓展延伸，改编于湖北省襄阳市2013年中考数学25题，条件简明扼要，表述清楚.本题主要考查的内容有平行线的判定与性质、角平分线的定义、等腰直角三角形的性质及有关计算、勾股定理、切线的判定与性质、圆周角定理及其推论、三角形相似的判定与性质以及锐角三角函数的运用等等，涉及了数学中的“转化思想”、“方程思想”、“建模思想”、“函数思想”，是一道难能可贵的好题.

二、解法与探究

第（1）问比较基础，考查平行线的判定.由等弧所对的圆周角相等，得∠BCD=∠BAD，又∠ADP=∠BCD，得出∠ADP=∠BAD，即可得出結论.

第（2）问考查切线的判定.切线的判定有两种常见的证明类型，“有点，连半径，证垂直”、“没点，作垂直，证半径”，题目属于前者，因此连结OD，需证OD⊥PD.即需证∠ODP=90°，因为DP∥AB，因为只需证∠DOB=90°，由圆周角定理，即只需证∠BCD=45°.又因为CD平分∠ACB，而∠ACB是直径所对圆周角，即可得出结论.

第（3）问是求线段PD的长度，也是本题的精华之处.求线段长度的方法很多，常用的有相似三角形、勾股定理、锐角三角函数等，还可以结合方程思想.如何在平时的教学中引导学生从不同的角度、不同的思路，用不同的方法去解决题目是我们老师必须为之思考跟探究的问题.现在笔者总结了几种常见的解法：

视角1：利用相似三角形“子母型”结构

解法一：首先利用勾股定理求得AB的长，然后由等腰直角三角形求出AD、BD、CE，再利用勾股定理得出DE的长，并得出CD的长;接着根据弦切角定理，可得∠ADP=∠PCD，而∠DPA=∠CPD，从而得出△ADP∽△PCD，再利用方程思想建立相似三角形对应边成比例的等量关系求出PD的长.求解过程省略.

视角2：利用内接四边形ADBC的外角等于内对角寻找相似

解法二：由解法一的解题过程中我们可以发现△CBD三条边长度都已知，而根据内接四边形ADBC的外角等于内对角，不难得出∠PAD=∠CBD，而∠ADP=∠BCD，因此也可以得出△CBD∽△DAP，从而利用比例直接得出PD的长.求解过程省略.

视角3：利用等角的锐角三角函数值相等来求解

解法三：如图3，过点A作AM⊥PD于点M，可证四边形AMDO为正方形，且边长为5，所以PD=PM+MD=PM+5，也就是说只要求出PM即可求出PD.由DP∥AB可得∠P=∠BAC，所以PM= 从而可以得出PD的长.求解过程省略.

视角4：利用等面积法求解

解法四：如图4，过点C作CN⊥PD于点N，且交AB于点F，交AB于F，首先利用Rt∆ABC等面积法，可得CF=4.8，从而得到CN=9.8，然后利用

得到 ，把CN、AM、CD、AE的值代入即可以得出PD的长.求解过程省略.

三、题目变式与拓展

视角1：构造“一线三垂直” 求线段的数量关系

变式一：在原题的基础上加上“过点B作BF⊥CD于点F，求证：EF+AE=BF（或DE=BF）.变式如下：

如图5，∆ABC内接于ʘO，且AB为ʘO的直径，∠ACB的平分线交ʘO于点D， 过点D在AD左侧作∠ADP=∠BCD，交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F.

（1）求证： EF+AE=BF;

（2）求证：PD是ʘO的切线;

（3）若AC=6，BC=8，求线段PD的长.

视角2：改变特殊角∠ACB的度数，其它条件不变

变式二：把“AB为⊙O的直径”改成“∠ACB=60°”.变式如下：

如图6，△ABC内接于ʘO，∠ACB=60°，∠ACB的平分线交ʘO于点D，过点D在AD左侧作∠ADP=∠BCD，交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E.

（1）求证：DP//AB;

（2）求证：PD是ʘO的切线;

（3）若AC=6， BC=8，求线段PD的长.

变式三：把“AB为⊙O的直径”改成“∠ACB=120°”.变式如下：

如图7，△ABC内接于ʘO，∠ACB=120°，∠ACB的平分线交ʘO于点D，过点D在AD左侧作∠ADP=∠BCD，交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E.

（1）求证：DP//AB;

（2）求证：PD是ʘO的切线;

（3）若AC=6，BC=8，求线段PD的长.

视角3：考查“旋转”

变式四：在原题的基础上，第（3）问不给出线段的具体长度，探索线段AC、BC、CD之间的数量关系.变式如下：

如图8，∆ABC内接于ʘO，且AB为ʘO的直径，∠ACB的平分线交ʘO于点D，过点D在AD左侧作∠ADP=∠BCD，交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E.

（1）求证：DP//AB;

（2）求证：PD是ʘO的切线;

（3）探索线段AC、BC、CD之间存在怎样的数量关系？

（思路：可以把△ADC绕点D顺时针旋转90°，如图所示，可以得到 ，即 .）

四、回顾与思考

本文通过一个典型例题，引导学生通过自主研究、探索，剖开题目的表面认识到题目的本质，启发学生一题多解、一题多变，加深学生对基本概念、定理的理解和掌握，开拓学生的解题思路，打破思维定势，提升学生分析的能力，让学生在分析问题时能从多角度、多层次出发，深刻理解和领悟所学内容，不断提高学生的数学核心素养，这比让学生沉溺于题海之中要有意义得多.正所谓：一题多解展精彩，一题多变拓思维！