谢礼平

（南京市东山高级中学，江苏南京 211103）

高中物理新教材选择性必修第1册第4章第4节，［1］课题为“实验：用双缝干涉测量光的波长”.在该节对实验原理的阐述中，推导了亮条纹所在位置的表达式.如图1所示，与双缝中心间距d相比，每个狭缝都很窄，宽度可以忽略不计，双缝中心S1、S2的连线的中垂线与屏的交点为P0，缝到屏之间的距离OP0＝L.下面针对教材在推导亮条纹位置x与光波长λ之间关系式（1）的过程提出几个问题，随后提出作者对此的思考.

图1

1 问题1及其讨论

由教材表述的推导，会得到

教材在推导过程中有两个地方使用了近似相等.

近似1：在r1＝MP1的条件下，将三角形S1S2M近似认为是直角三角形，即∠S1MS2≈90°.

近似2：sin∠P1OP0≈tan∠P1OP0，教材表述为sinθ≈tanθ.

还有一个近似相等教材没有提，而是直接表述为相等，即近似3：∠P1OP0≈θ，这个近似伴随着∠S1MS2≈90°的近似而产生.

那么，为什么要用这3个近似？这3 个近似相等有根据吗？在这里多数教师都感觉讲授起来非常棘手：完全按照教材方式去讲解，依靠学生的现有的数学基础，他们会产生各种各样的疑问：为什么要这样近似？我用另外的近似方法可以不可以？如果可以的话，会推导出与教材结论完全不相同的结论.要知道，这些近似相等要面对的是可见光波长的数量级，即10－7m，它们真的可靠吗？作者的印象是，在实际教学中，对这些问题的对待方式，要么是回避；要么是只强调教材提出的近似的权威性；只要求学生记住最后导出的关系式，推导过程略过不提.对此的疑问大都不了了之.

为确认这些近似的可靠性，作者首先考虑的是根据实验室现有实验装置提供的数据做计算，具体是以本节教材内容后第97页提供的“练习与应用3”为例，实验最可能的涉及的数据如下：单色光波长λ＝6.33×10－7m，双缝间的距离d＝0.3 mm，屏距离双缝（或挡板）L＝1.2 m.

（1）首先研究近似1 的可靠性，即△S1S2M近似认为是直角三角形.

先计算（r2－r1），再比较它与直角三角形S1S2M的边长S2M的差距，为了获得可以与可见光波长数量级相比较的数据，计算的精度至少要到10－10m.

如图2所示，由几何关系可知

图2

以上3式联立可得

代入数据计算，上式的每步计算均保留到11位有效数字，可得

x1≈2.5320056534×10－3m.

由此就可以计算∠P1OP0的正弦值

设S1M⊥S2P1，那么

sin∠P1OP0＝sinθ.

S2M＝dsin∠P1OP2.

S2M＝6.3300000423 m.

由此可以看出S2M的相对误差为

这几乎没有误差，在S1M⊥S2P1的情况下，完全可以认为Δr＝S2M.

（2）从另一个视角来证明关系式（1）.

由（2）－（4）式联立可以得（5）式，考察（5）式.

从刚才的计算过程知道：项“4λ2L2”的数量级为10－6m；项“λ4”的数量级为10－18m，所以分子中的项“λ4”忽略不计；而项“4d2”的数量级为10－7m；项“4λ2”的数量级为10－12m，故而分母中的项“4λ2”也可以忽略不计，

上式结合式（2）就可以得到关系式（1）.这也许是高中学生较为容易接受的推导.

还可以观察一下P1P0和OP0之间的空间比例关系：

这大约相当于在12 m 远处观察一枚一元的硬币，图2的空间比例关系与实际情况不符，但图2 方便了表述和分析.

综上所述：在教材第97页“练习与应用3”提供的实验条件下，关系式（1）非常可靠.

由于采用可靠的近似，抓住主要矛盾，忽略次要矛盾，得出的这个关系式直观而简洁.

2 问题2及其讨论

双缝干涉实验中观察到的亮条纹只是有限的几条，不是满足亮条纹关系式的所有地方都有的，亮条纹的亮度也不尽相同，这是为什么呢？

这个问题的解答取决于对衍射现象的认识程度.如图3 所示，双缝干涉现象，是在两个狭缝分别产生的衍射在重叠区域叠加而形成的，具体说就是狭缝S1因衍射现象而产生的中央亮条纹宽度（主极大）S11S10，狭缝S2对应的是S21S20，两条衍射现象的中央亮条纹在它们重叠的区域S10S20产生了明暗相间的条纹，是为干涉现象.

图3

（1）可以计算重叠的区域的宽度.

设狭缝的宽度为a，中央亮条纹的宽度为S11S10＝S21S20＝l，光的波长为λ，挡板与屏的距离为L，则有

设重叠的区域S10S20的宽度为l′，由图3的几何关系可得l′＝l－d.

由于每相邻两个亮条纹的间距几乎是相等的，可用上文所说的x1表示，所以能看到的亮条纹的数量n最多为

（2）继续使用波长λ＝6.33×10－7m 的单色光进行实验.

由资料所提供的数据，［2］实验单缝的宽度为a＝0.1 mm，再由教材第97页“练习与应用3”提供的实验参数进行计算.

约60条是基于以上实验参数，依据理论知识计算的亮条纹的数目.实际上这些亮条纹的亮度有比较大的差异，有的甚至肉眼不见，中央部分一些亮条纹最为明亮，实验时以它们为对象进行测量.

衍射现象的次级亮条纹之间也会产生干涉现象，由于亮度的原因，它们不是实验的测量对象，此处不再赘述

3 问题3及其讨论

亮条纹之间的距离是等间距的吗？

用眼睛观察实验发现亮条纹间距是相等的，但亮条纹位置的关系式是采取近似后推导所得，因此，严格的说，间距并不相等.课本中说的等间距，也是以可靠的近似为根据的.

实验中，有时以5－9条亮条纹为对象进行测量.本文对第4 级亮条纹的位置分两种方式进行计算：一是实际计算，二是根据亮条纹的关系是进行计算，然后进行比较.

（1）实际计算.

如图4所示，对第4节亮条纹的位置P4，有

图4

以上3式联立得到

代入问题1 讨论所给数据计算，在计算时均保留到11位有效数字，会得到

x4＝1.0128360667×10－2m.

（2）用关系式计算.

代入数据计算，得到

其误差为

它们几乎没有差别，可以认为：用关系式（1）计算第4级亮条纹位置依然十分精确，亮条纹间距可认为是均匀的，眼睛无法看出它们的差别.