李燕清，黄俊杰，*，阿拉坦仓

(1.内蒙古大学 数学科学学院，内蒙古呼和浩特 010021;2.内蒙古师范大学 数学科学学院，内蒙古呼和浩特 010022)

§1 引言

算子矩阵常常出现于系统理论，最优控制，应用力学以及数学物理等研究领域.众所周知，算子矩阵的Fredholm理论，特征向量展开定理等谱问题的研究比较复杂，一直没有彻底解决.为研究这类问题，往往需要引入一些有效的工具和研究方法.通常，算子矩阵可以分解为一个斜对角算子矩阵和一个具有良好性质的算子矩阵之和.因此，斜对角算子矩阵有望成为研究这些谱问题的有力工具，其中谱性质是亟需解决的关键问题之一.

近年来，许多学者研究了斜对角算子矩阵H的谱性质，并得到一些有意义的结论.在文[1]中，当B和C均自伴，即H为Hamilton算子矩阵时，得到了点谱的描述

并且0(H)当且仅当0(B)∪σp(C);而当其同时满足(BC)*CB时，有剩余谱和连续谱的刻画

对于一般的有界算子B和C，文[2]给出近似点谱的描述

在文[3]中，当B和C是自伴算子时，

当B和C是可逆算子时，文[4]给出了本质谱的刻画σe(H){C|λ2(BC)∪σe(CB)}.

综上所述，在一定的条件下，可以通过斜对角算子矩阵中两个斜对角元的之积BC和CB的谱性质刻画整个算子矩阵的谱性质.目前为止，未见斜对角算子矩阵的左(右)Weyl谱和Weyl谱的相关研究，本文基于算子积的Fredholm性与各因子的关系解决了这个问题.

§2 预备知识

本文涉及的算子均为线性算子，对于算子T，分别以N(T)和R(T)表示零空间和值域;记n(T)dimN(T)，d(T)codimR(T).

定义2.1(见[5])X，Y为Banach空间，若T:X →Y是具有闭值域的稠定闭算……