王海燕，孙宁馨，边小丽

(天津职业技术师范大学 理学院，天津 300222)

§1 引言

Schwarz引理是复分析中最基本的定理之一，它揭示了解析函数的几何特性.Ahlfors第一次将几何概念引入了Schwarz引理[1-2]，Yau于1978年将其推广到Kähler流形[3].近几年来，Schwarz引理逐步推广到非交换空间.文献[4]给出了一般欧氏空间中的Schwarz引理，张忠祥在文献[5-6]基于Poisson积分公式建立了Clifford分析中Dirac算子对应的Schwarz引理，并通过Möbius变换给出了Clifford分析中的Schwarz-Pick引理，为在Clifford分析中研究正则函数的几何特性奠定了基础.文献[7]将该结果推广到非交换，非结合空间中，文献[8]基于Cauchy积分公式给出了低维空间中与Helmholtz算子相关的Schwarz引理，文献[9]将Schwarz引理推广到Slice Clifford分析.

基于以上结果，本文首先从Poisson积分公式出发，给出了文献[6]中Schwarz引理的推广形式，然后利用Cauchy积分公式和Hile引理，建立了Clifford分析中带有精确常数的Schwarz引理(如下)，对低维通过画图直观地展示了该方法得到的常数优于基于Poisson积分公式得到的结果，对一般情况进行了详细的证明.

主要结果设B(0，R1)⊂Rn+1，函数1(B(0，R1)，Cl(n))满足f(0)0，Df(x)0，|f(x)|≤R2，(0，R1)，则对任意的(0，R1)，有

§2 预备知识

设e1，e2，···，en是n-维实向量空间Rn上的标准正交基.引入乘法运算，满足

在该乘法下它们生成了非交换可结合的Clifford代数，记为Cl(n)[10-15].

通常e0等同于实数1，实数空间R可以视为Clifford代数Cl(n)的子空间，Rn+1中的元素可以看成一个Clifford数x(x0，x1，...，xn)定义共轭运算，其满足

对任意元素Rn+1其共轭为

由于

则对任意Rn+1{0}具有逆元素

Clifford分析中，一般研究Dirac算子

对于任意Clifford值函数f:Rn+1-→Cl(n)，将其表示为

其中

且1≤α1＜α2＜αh ≤n，当A∅时，eA1，fA(x)是实值函数.Dirac算子作用到函数上按照如下规则

Dirac算子的共轭算子……