段火元，吴先亮

(武汉大学 数学与统计学院，湖北武汉 430072)

§1 引言

研究求解如下Stokes方程的有限元方法

在方程中，速度和压力在边界上需要具有合适的边界条件.常见的边界条件是

在本文中，涉及到边界条件

与(2)一样，边界条件(3)也来自计算流体力学(参见[1-12]).本文关注的是Taylor-Hood单元(参见[13-15]).众所周知，数值求解Stokes方程的有限元方法文献非常多，其中两本专著([14-15])中已经给出了系统的理论。表面上，当离散带有边界条件(3)的Stokes方程(1)时，所有用于离散带有边界条件(2)的Stokes方程(1)的有限元方法都适用.当然，为适合边界条件(3)，其中双线性型选取a2(u，v)+divu·divv，而不是Dirichlet积分a1(u，v)(两者在这个a1(v，v)a2(v，v)意义下是等价的).

然而在非凸多边形区域中，带有边界条件(2)的Stokes方程(1)和带有边界条件(3)的Stokes方程(1)之间存在着重大区别.(1)和(3)的速度解在以下意义上可能是非H1空间解.

而截然相反的是，(1)和(2)的速度解在下面(5)意义下仍然是光滑的.

在过去的十多年间，对具有类似于上述奇异解的研究越来越多(参见[16-17]和其中的参考文献).也有一些有限元方法文献，但文献中对(1)和(3)的离散化都假设为在(5)意义下的光滑速度解，并采用了a2(·，·)或a1(·，·)，例如文[1-6]和文[9-10]等.这些有限元方法都不能正确求解上述非H1空间解，参见[11].

对于非H1空间解，文[11]提出并分析了一种新的交错型Taylor-Hood类型单元(CPl+2)2-Pl.然而其中的理论并不包括原始的Taylor-Hood元(Pl+1)2-Pl.作者也提到一种稳定化有限元方法(文[7])，可以用于求解非H1空间解.

本文为Stokes方程(1)和(3)的Taylor-Hood单元(Pl+1)d-Pl研究了一种新理论.这些单元的收敛性被证明了.新……