宋丽娜，朱 荻

(东北财经大学 数据科学与人工智能学院，辽宁大连 116025)

§1 引言

期权是一种活跃在国内外金融市场的衍生产品之一.我国内地市场上证50ETF期权和沪深300ETF期权分别于2015年2月9日和2019年12月23日上市交易.内地期权市场的扩容，一方面丰富了金融市场，有利于吸引大量资金进场;另一方面应该认识到风险管理的紧迫性和重要性.充分发挥期权双刃剑作用的关键是对其合理定价.经典的期权定价方法包括Black-Scholes模型[1-5]，二叉树模型[6]和倒向随机微分方程[7]等.其中，Black-Scholes模型的问世为研究者提供一种思路，利用偏微分方程的理论和方法研究期权定价问题.随着研究工作的发展，[8]引入Schrödinger型非线性偏微分方程替换线性Black-Scholes方程作为期权定价模型.针对这一模型，[9]首次提出金融畸形波解，成功刻画金融市场中资产价格波动的怪波现象.经典模型的改进和完善一直以来都是专家学者的重点研究工作.归因于大量实证研究发现:金融资产价格变动存在长记忆性.[10-15]利用分数Browain运动取代标准Browain运动建立分数次Black-Scholes模型在分形市场下定价期权.

分数阶偏微分方程是对整数阶偏微分方程的统一和推广，分数阶导数算子是一个积分-微分算子，能够有效地刻画事物发展的历史依赖性，是分形几何和分形动力学建模的有效工具.分数阶偏微分方程已被引入定价理论.目前所涉及的模型可分为三类，一是时间分数阶偏微分方程，[16]在修正的Riemann-Liouville分数阶导数定义下给出时间……