秦 潇，吕 蓬，杨晓忠

(华北电力大学 数理学院，北京 102206)

§1 引言

分数阶微积分已经成功地运用于反常扩散，控制理论，粘弹性材料等领域[1-3].在这些问题中，分数阶对流扩散模型能更准确地模拟物理学中的传输过程[4-5].众所周知，在复杂的污染物迁移过程中，它的短时间行为特征与长时间行为特征有很大的区别，扩散运动在许多情况下会跨越多个时间尺度.因此，与单项相比，引入多项时间分数阶导数能够考虑时间尺度的变化对整个过程的影响，更准确地建立数学物理模型.本文考虑多项时间分数阶对流扩散方程[2，6]

多项时间分数阶导数定义为

多项分数阶微分方程的定性分析已经完成了许多工作.Luchko[7]基于最大值原理，研究了多项时间分数阶扩散方程的广义解.Liu等[8]采用积分变换的方法研究了多项时间分数阶扩散波方程的精确解.Li等[9]研究了多项时间分数阶扩散方程初边值问题的适定性和长时间渐近行为.

对于多项时间分数阶扩散方程的数值解法已经有了许多研究:Ren和Sun[10]对多项时间分数阶扩散方程构造了一种高阶紧有限差分格式，证明了格式是无条件稳定和收敛的.Jin等[11]采用有限差分方法和Galerkin有限元法构造了多项时间分数阶扩散方程的全离散格式，并给出了完整的误差分析.基于时空频谱法，Zheng等[12]对多项时间分数阶扩散方程提出了一种高精度的数值格式.Zhao等[13]基于双线性有限元法和有限差分法，构造了多项时间分数阶扩……