谭晓云

[摘  要] 数学也是一种文化，以“函数的奇偶性”教学为例，论述数学文化在高中数学教学中的渗透，以激发学生的学习兴趣，促进学生自主探究，进而培养学生的思维品质和理性精神.

[关键词] 数学文化;函数;奇偶性;高中数学

数学也是一种文化，伴随着人类历史的产生与发展. 教学中，教师不能仅仅注重数学的科学性和工具性，而忽视了数学的人文性. 文章以“函数的奇偶性”教学为例，论述了数学文化在高中数学教学中的渗透，不揣浅陋，以求教于学界同仁.

情境导入，提出问题

特级教师于漪说过，“在课堂中要培养、激发学生的兴趣，首先应抓住导入新课的环节，一开始就把学生牢牢地吸引住.”[1]导入环节在整个教学过程中的重要性不言而喻. 在导入环节渗透数学文化，教师可以从两个方面入手：一是通过数学与社会生活的联系渗透数学文化. 生活是数学的源泉，数学是生活的提炼，从学生熟悉的现实生活导入新课，既能够提高学生的观察能力，还能够帮助学生更好地了解生活中的“数学之美”. 二是通过数学家的故事导入新课. 数学学习是人类的一种文化活动，数学学习中的困难和挫折难以避免，教师可介绍数学家攻克难题的过程，激励学生战胜困难的勇气，照亮学生前行的腳步！

师：生活中并不缺少美，只是缺少一双发现美的眼睛. 现在，请同学们观察以下几幅图片（如图1所示），说一说它们美在哪里.

生1：这些图形都是对称的.

师：对称是大自然的一种美，数学中也有对称美. 在初中学段，我们学过哪几种对称呢？

生2：轴对称和中心对称.

师：你能列举出一些图像对称的函数吗？

生3：f（x）=x-1，f（x）=x，f（x）=x2.

师：现在，我们通过几何画板再画一些函数的图像，比如f（x）=x-2，f（x）=x3，f（x）=x4. 请同学们观察这些函数的图像，并根据图像的特点对这些函数进行分类，说一说你分类的依据是什么.

生4：我是这样进行分类的：函数f（x）=x2，f（x）=x-2，f（x）=x4是一类，它们的图像都关于y轴对称;函数f（x）=x-1，f（x）=x，f（x）=x3是一类，它们的图像都关于原点中心对称.

师：如果要给这两类函数起名字，你有什么好办法？

生5：我们可以称第一类函数为偶函数，因为它们的指数都是偶数;我们可以称第二类函数为奇函数，因为它们的指数都是奇数.

师：同学们真聪明. 你们跟大名鼎鼎的数学家欧拉想到一起去了！欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他首次提出了奇函数和偶函数的概念. 当时，他也是根据指数的奇偶性来对函数进行分类的. 这节课，我们就来一起研究函数的奇偶性，探究奇函数和偶函数的奥秘吧！

教学中，教师创设情境，引导学生感悟和体味生活中的对称之美，并在此基础上自然而然地过渡到数学中的对称之美，进而引出奇函数和偶函数的概念. 在这个过程中穿插着数学小故事，使学生认识到函数奇偶性的历史渊源，感受数学家研究问题的思维方式，提升了学生学习数学的兴趣和信心.

自主探究，建构概念

苏霍姆林斯基说：“教学不仅仅是一种‘告诉’，更重要的是要让学生在情境中主动地实践、体验和探究.”[2]数学探究是学生学习数学的重要方式，具体表现为学生动手动脑、探索实践和相互交流等. 在学生探究的过程中，教师可结合教学内容，合理渗透教学内容中的显性文化和隐性文化. 其中，显性文化指的是数学史料、数学之美、数学应用等，隐性文化指的是知识内容中蕴含的数学思想方法、数学理性思维以及数学思维品质等.

活动1：认识偶函数

师：我们刚才是根据函数图像的对称性对函数进行分类的. 问题的关键是，我们在很多情况下并不能直接获得函数图像的特征，这个时候，我们应该怎么办呢？

（学生讨论）

生6：我们学习函数的单调性时，是先从特殊的函数入手的，先直观感受函数图像的变化，再从“数”的角度给出了函数单调性的定义. 我认为，我们也可以按照同样的思路研究函数的奇偶性. （感悟数学的数形结合思想，体会数学从特殊到一般的研究方法）

师：我们先根据下面的表格（表1），画出函数f（x）=x2的图像. （让学生感受偶函数的对称之美）

师：f（x）=x2的图像关于y轴对称，我们应该怎样用数量关系进行描述呢？（几何画板演示：当函数图像上任意一点运动时，其关于y轴的对称点也随之运动）

生7：f（1）=f（-1），f（2）=f（-2），f（2.5）=f（-2.5），….

生8：即使自变量互为相反数，函数值也相等.

师：我们如何用数学符号表示这种数量关系呢？

生9：f（x）=f（-x）. （数学符号简洁之美）

师：现在，我们将这种数量关系推广到图像关于y轴对称的一般函数f（x）.

生10：对于函数f（x）定义域内的任意x，都有f（x）=f（-x）.

师：如果对于函数f（x）定义域内的任意x，都有f（x）=f（-x），那么这个函数的图像是否关于y轴对称呢？

（学生讨论）

生11：答案是肯定的，函数图像上的任意一点关于y轴对称的点也在这个函数图像上.

师：怎样论证自己的观点呢？

生11：如图3所示. 设函数f（x）定义域内的任意一点是图像上的一点P（x，f（x）），P（-x，f（x））是点P（x，f（x））关于y轴对称的点，函数f（x）的图像上横坐标为-x的点是Q（-x，f（-x）），因为f（x）=f（-x），所以P和Q实际上是重合的. 这样就可以得出这样的结论：如果对于函数f（x）定义域内的任意x，都有f（x）=f（-x），那么这个函数的图像关于y轴对称. （体现数学思维的严谨性）

师：如果对于函数f（x）定义域内的任意x，都有f（x）=f（-x），那么函数f（x）就叫偶函数. 偶函数的图像关于y轴对称，反之也成立.

師：函数f（x）=x2（x∈[-1，2]）是偶函数吗？

生12：不是. 这个函数图像并不关于y轴对称.

师：这说明偶函数的定义域有什么特征？

生12：偶函数的定义域应该是关于原点对称的. （体现数学思维的严谨性）

教学中，教师要立足学生的最近发展区，引导学生将函数单调性的学习和研究方法迁移到函数奇偶性的学习和研究中，使学生感受到数学中的数形结合思想和类比思想的魅力. 在探究偶函数概念的过程中，教师引导学生先从特殊的函数入手，从“形”的角度直观认识偶函数，但是这种认识仍然属于一种浅层次的感性认识. 在此基础上，教师紧紧抓住问题本质，引导学生自主探究，使学生运用文字语言、符号语言和图形语言表示偶函数的特征. 学生由此经历了完整的概念建构过程，并将偶函数的认识由感性认识上升到理性认识，并在这个过程中发展学生严谨、思辨的数学思维品质，进而丰富了数学教学的文化底蕴.

活动2：类比偶函数，探究奇函数

通过列表、描点和连线，作出函数f（x）=x的图像，并且类比偶函数的学习过程，解决如下问题：

（1）类比偶函数，尝试定义奇函数.

（2）奇函数的图像特征是什么？

（3）函数f（x）=x（x∈[-1，2]）是奇函数吗？

（4）奇函数的定义域有什么特征？

（5）你能举出一些奇函数的例子吗？

类比学习是一种重要的数学学习方法. 由于学生充分参与了偶函数概念的建构过程，因此学生可以类比偶函数探究奇函数，不但促进了数学知识和方法的有效迁移，还有利于学生从整体上把握函数奇偶性的基本规律.

数学应用，深化理解

数学源于生活并服务于生活. 知识唯有运用于现实生活的实践中才能彰显出其强大的魅力. 在数学应用过程中，帮助学生有理性、有条理地进行思考，借助于数学符号、数学概念和原理，有理有据、有方法、有方向解决现实问题，进而培养学生的数学思维品质，彰显数学的理性精神.

通过本题的练习，学生可以进一步巩固运用图像法和定义法判断函数的奇偶性. 其中，运用定义法判断函数奇偶性的步骤为：判断定义域是否关于原点对称;找出f（x）与f（-x）的关系;作出判断：如果f（x）=f（-x），那么f（x）是偶函数;如果f（-x）=-f（x），那么f（x）是奇函数. 同时，学生能自觉地通过函数奇偶性将函数归纳为奇函数、偶函数、非奇非偶函数和既是奇函数也是偶函数四种类型. 总之，本题可使学生进一步巩固对函数奇偶性概念的认知和应用，能发展学生思维的逻辑性和严谨性.

本题是数学史上的著名例子，欧拉在研究这两个函数性质时就犯过没能正确区分f（x）和g（x）的错误. 教师介绍本题的历史背景，进一步激发学生的探究兴趣，促进学生对函数概念和函数奇偶性的理解.

让数学成为一种文化，数学教学应该“还数学以文化的本来面目”，使学生感受到数学中蕴含的文化底蕴. 然而，数学文化的浸润不能急功近利，也不能强制灌输，而应该潜移默化、润物无声地实现. 只有这样，数学文化才能浸润到学生的心田，才能促进学生的自然生长.

参考文献：

[1]  刘晓苏. 渗透数学文化，提升学生素养[J]. 中学数学，2020（15）：79-80.

[2]  田兴辉. “文”以载道魅力彰显——浅析新课程理念下数学文化的融入[J]. 高中数学教与学，2020（10）：1-3.