罗贵荣 陈新光

摘   要：牛顿第二定律是高考的必考知识点，也是高中物理教学的重点与难点，而应用牛顿第二定律解决连接体中的受力问题更是学生极易产生错误和馁怯的问题。尝试通过数值模拟方法直观呈现连接体物体间的相互作用力大小，让学生在模拟实验中得出结论，從数据中总结理论规律，达到提升学生学科核心素养的目的，也为一线教师提供了一种突破教学难点的方法。

关键词：牛顿第二定律;连接体;数值模拟;核心素养

引言

连接体问题是高考力学部分考查的热点问题，是高一学生在学习牛顿第二定律应用时必须掌握的模型之一。在讲授应用牛顿第二定律求解连接体之间的相互作用力的问题时，很多一线教师和现行的教辅都习惯采用先整体后隔离的方法来解决此类问题。但在解决实际一些复杂问题时，该方法并未能得出一个直观的结论。寻求一种高效、可行的教学方法也是诸多学者一直追求的目标[ 1-3 ]。有限元数值模拟是借助计算机模拟，通过数值计算和图形可视化的方法，实现对实际工程问题和自然规律的仿真模拟[ 4 ]。本文尝试将有限元技术引入课堂，借助有限元数值模拟来解决一个复杂的实际问题，总结出连接体之间相互作用力的一般表达式，同时也培养学生解决实际问题的能力和物理科学论证的能力，以期达到提高学生学习效率和学科核心素养的能力。

1  提出问题

为了更好地激发学生学习兴趣，本节课的课堂引入选择了一种比较有趣的拔河比赛：重型卡车之间的拔河比赛，如图1所示。在拔河过程中，左边A车最终赢得比赛的胜利。那么，在左边卡车拖着右边B车向左运动的过程中，两车之间的连接钢绳需要承受多大的拉力呢？

2  模型简化

应用牛顿第二定律解决以上问题，首先需要对以上复杂实际问题进行模型简化，如图2所示。在模型简化时，考虑主要因素，忽略次要因素，即简化两车质量分别为m1和m2，两车的牵引力分别为F1和F2，两车与地面的滑动摩擦因数分别为μ1和μ2，钢绳的张力为T。

在实际教学设计中，可以在本节课内容之前，先让学生掌握图3模型中：匀变速直线运动中的绳子拉力的表达式为T=。 因此，在学生已有潜在知识储备的情况下，不妨引导学生先复习求解图3中连接体之间绳子拉力问题的方法即先整体后隔离的方法，并让学生应用该方法求解图2模型中钢绳的张力T。一般情况下，学生不容易得到一个比较简洁的表达式。

学生在求解过程中可能会出现问题：（1）在求解过程中，可能会忽略滑动摩擦因数不同这个条件，而错误地套用一些教辅总结的两连接体之间相互作用力与滑动摩擦因数无关的结论;（2）本模型用先整体后隔离的方法求解，虽思路简单，但是计算繁琐，学生也不易得出简洁结论。

3  数值模拟教学设计

利用数值模拟软件模拟连接体的物体之间相互作用力的计算机模型如图4所示。数值模拟过程需要对每个模拟对象设定好初始值，不妨设定本模型中的基本参数为：m1=1 kg， m2=3 kg， F1=20 N，F2=8 N.

【模拟过程一】：为了降低难度并引发学生思考，不妨先设定两个物体的动摩擦因数相同，即μ1=μ2=0.1.为了便于学生观察和思考，模拟过程分成三个步骤（如表1所示）：

步骤1（如图5）：先令F1=20 N，F2=0，计算机模拟得到绳子张力T1;

步骤2（如图6）：再令F1=0，F2=8 N，计算机模拟得到绳子张力T2;

步骤3（如图7）：令F1=20 N，F2=8 N，计算机模拟得到绳子张力T3;

【模拟过程二】：为了模型更具有普遍性，设定两个物体的动摩擦因数不同，不妨令μ1=0.2，μ2=0.1.这一个步骤4（如图8）可以考虑先让学生猜想在这种情况下的绳子张力的表达式，然后开始模拟予以验证学生的猜想。

4个步骤的设计意图：步骤1和步骤2的模型学生已经掌握，可以从计算机模拟上进一步证实表达式的正确性，同时也为步骤3得到表达式做好铺垫。步骤3是关键，从数值模拟上得到结果，而且数字15+2=17，让学生有非常强烈的视觉刺激，容易过渡到猜想得到步骤3对应模型的表达式。得到步骤3的表达式之后，授课教师要对公式做个解释：两边分别对物体的拉力都会传到给中间的绳子张力，那么根据生活经验容易想到，两边拉力对中间绳子的影响应该是越来越紧，因此，体现在公式中，应该是每个拉力传递给中间绳子的拉力进行相加，即取加号。

进一步地，授课教师引导学生合理外推，想要得到步骤4模型对应的表达式，可以先让学生猜想，观察个别学生有得到正确表达式之后，安排学生动手算出结果，然后教师再进行数值模拟，与学生结论进行对比，让学生获得成功的喜悦，同时进一步巩固学习成果。需要特别提醒的是，在分别求两物体合外力时，要注意摩擦力的方向问题。

4  结果论证

如果只是单凭猜想得出结论而没有找到理论依据，课堂总结的结果并不能令人信服。借助学生之前算好的结果，进一步往下化简：

F1-F2-μ1m1g-μ2m2g=（m1+m2）a                 （1）

T-F2-μ2m2g=m2a                                （2）

联立上两式，可得：

T=F2+μ2m2g+m2a

=F2+μ2m2g+m2

=+

=+                           （3）

上式T的表达式可理解为：分别先求出物体m1和物体m2受到的外力F1合和F2合，然后可看成外力F1合和F2合单独存在时传递给绳子的张力进行求和得到。特别地，当步骤3中模型的动摩擦因数相同时，即μ1=μ2=μ时，T的表达式可以退化为：

T=+

=+                           （4）

式（4）也满足运动的两物体之间的一般表达式，证实从数值模拟结果得出的猜想结果的正确性，符合一般规律。

5  举一反三

在课堂教学过程中，让学生立即应用所学结论解决实际问题是学生掌握知识要点的必要手段。在教学设计中安排了一道稍有变形的例题，让学生应用课堂得到的连接体模型中两物体间相互作用力的一般结论解决问题，进一步巩固课堂成果，提升学生思维。

例题：两物体质量分别为m1=2 kg， m2=1 kg，放置在滑动摩擦因数为0.25的水平地面上。现用F=20 N的力沿水平方向成θ=37°的角去推m1物体，如图9所示，求m1对m2的作用力。

在课堂练习中，设计两个环节：（一）理论计算，学生套用课堂总结公式，带入数值计算，得出结果;（二）利用有限元软件，根据本例题物理情境建立有限元模型，现场设置例题中的参数，展示现场模拟过程，模拟结果与学生计算结果进行对比。

【环节一】学生动手，理论计算

第一步先求出物体m1在运动过程中受到的合外力：

F1合=Fcosθ-μ（m1g+Fsinθ）=8 N

第二步在求出物体m2在运动过程中受到的合外力：

F2合=μm2g=2.5 N

第三步应用公式（4）可以得出最后结果：

N=+=+N=N

【环节二】有限元仿真模拟

本节课尝试利用有限元软件解决实际问题，本例题也必须通过有限元模拟得出结果，形成对比，加深印象。图10给出了本例题的有限元模拟结果。在模型中，设置测量参数有物体运动的加速度和两物体之间的相互作用力。从图6中可以看出，本题的加速度为1.88 m/s2，两物体之间的相互作用力为4.33 N，与学生计算结果相吻合。

在本例题中，除了巩固课堂成果之外，还有意设计了本例的变形：第一，两物体相同滑动摩擦因数的情况下，平时教辅总结的二级结论公式不能使用，让学生在错误条件应用中进一步加深对公式应用理解;第二，改成斜向作用力推物体，看似一个外力作用在系统上，但实际上要当成系统受到两个水平的合外力作用，即m1上的水平合力与m2上的水平合力。通过一道最为普通的情况例题总结出连接体物体间相互作用力的一般表达式，然后通过有限元模拟得出结果，进一步加深学生对公式应用的理解，达成课堂预设效果;第三，通过本例题让学生明白一个道理：学习物理知识，必须要先掌握物理的内在规律与本质，一些二级结论的应用必须是建立在掌握规律的基础上再灵活应用。

6  总结反思

新课程标準要求教师促进学生全面发展，提升学生的学科核心素养。如何在日常授课中提升学生的学科核心素养是一直努力的方向。本节课基于实际问题情境，以牛顿第二定律为知识储备基础，尝试以数值模拟软件为工具，以解决实际复杂问题为载体，培养学生解决实际问题的能力和物理科学论证能力，以期达到提升学生学科核心素养的目的。

对于运动过程中两物体之间的相互作用力问题的求解，“先整体后隔离”的方法是学生必须要熟练掌握的基本方法。本文从数值模拟角度引发学生猜想得出了在运动过程中两物体之间的相互作用力的一般表达式，仅仅是帮助学生换个思维角度来思考力学问题，通过这个过程启发学生多去总结各个模型的物理规律和寻找各个物理规律背后的科学论证，提升学生的物理思维品质。倘若学生能灵活应用之，则也能高效地解决此类问题。

参考文献：

[1] 魏荣荣. 利用DISLab改进牛顿第二定律实验装置[J]，实验教学与仪器，2021，38（5）.

[2] 高嵩，田宇，邵梦媛. 基于推理的“牛顿第二定律”教学思考[J]，物理教学探讨，2021，39（3）.

[3]黄汝瑜，丁益民，杨悦，等.巧用智能手机近程传感器验证牛顿第二定律[J]，湖南中学物理，2019，34（10）.

[4] 陈新光，范功怀，林钦. 基于有限元法的安培力实验探讨[J]，物理教学探讨，2020，38（10）.