孙志东

【摘要】 本文先给出了“两边夹法”的定义，然后通过具体的例子来说明这种方法在解方程或不等式中的灵活应用.

【关键词】 两边夹法;解方程或不等式;配方;最值取得条件;化归

在初中数学中，若方程或不等式经过化简，得到如下的形式：a≤x，且x≤a，

其中x常常指各种各样的代数式，a是一个常数，则可得x=a.

我们把这种得到x与a相等的方法称为“两边夹法”.这种方法在处理某些特殊方程或不等式时，往往简洁而奇特.下面举例来说明其灵活的应用：

1 两边夹法在解方程中的应用

例1 已知y+|x-2|=1-a2，|z-2|=3y-3-b2，求x+y+z+a+b的值.

分析 已知条件中的两个方程未知数众多，看起来好像无从着手，但仔细观察会发现：每个方程的左右两边都含有绝对值、平方的相反数的形式，若把它们都集中到等式的一边，则这边就变成了非负数和的形式，而每个方程的另一边都变成了y的代数式，根据非负数建立含y的不等式组，恰好满足“两边夹”的形式，这样问题便解决了.

解 已知等式y+|x-2|=1-a2可变形为|x-2|+a2=1-y≥1，得y≤1;

同理|z-2|=3y-3-b2可变形为

|z-2|+b2=3y-3≥0，得y≥1.

由两边夹法得y=1，且|x-2|+a2=0，

|z-2|+b2=0，

从而x=4，a=0，z=2，b=0.

所以x+y+z+a+b=7.

例2 已知a，b，c均为实数，且3（2022-c）2-1+（|b+5|+2）2=6a-a2，则（2a+b）c的值为.

分析 这个方程含有二次根式、三次根式、平方式，这些式子看起来比较复杂，但三次根式里面又含有平方式，这样我们可以发现左边两个式子都有最小值，且其和為-1+4=3，而右边经过变形得-（a-3）2+9，可以得到它有最大值3，这样根据等号成立的条件，可以求出各个字母的值.

解 因为3（2022-c）2-1+（|b+5|+2）2≥3-1+4=3，

且6a-a2=-（a-3）2+9≤3，

所以由两边夹法得已知等式两边都等于3，

且当a=3，b=-5，c=2022时取等号.

所以（2a+b）c=1.

例3 当a，b为何值时，方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2=0有实数根.

分析 这个关于x的一元二次方程含有a，b两个参数，由方程有实数根，我们可得其判别式为非负数，这样得到a，b的一个不等式，将其配方，得到两个非负数的和小于或等于零，这样可以利用两边夹法来解决.

解 一元二次方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2=0有实数根意味着其判别式

Δ=4（1+a）2-4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，

整理可得（a-1）2+（a+2b）2≤0.

又因为（a-1）2+（a+2b）2≥0，

所以由两边夹法得

（a-1）2+（a+2b）2=0，

解得a=1，b=-12.

2 两边夹法在解不等式中的应用

例4 若实数x，y，z满足（2x2+8x+11）（y2-10y+29）（3z2-18z+32）≤60，则（  ）

（A）x+y-z=0.  （B）x+y-z=0.

（C）x-y+z=0.（D）x-y+z=1.

分析 不等式左边的三个二次三项式结构一致，经过配方，可以发现各个式子的最小值分别是3，4，5，所以左边的最小值是60，结合已知条件，发现符合“两边夹法”的特征.

解 由（2x2+8x+11）（y2-10y+29）（3z2-18z+32）≤60得

[2（x+2）2+3][（y-5）2+4][3（z-3）2+5]≤60，

而[2（x+2）2+3]≥3，

[（y-5）2+4]≥4，

[3（z-3）2+5]≥5，

所以[2（x+2）2+3][（y-5）2+4][3（z-3）2+5]≥60.

由两边夹法可得

（2x2+8x+11）（y2-10y+29）（3z2-18z+32）=60，

当x=-2，y=5，z=3时等式成立，

所以x+y-z=0.

选（A）.

例5 已知a，b，c为整数，且a2+3b2+3c2+13<3ab+4b+12c，求根式（a+c）-（a+b）a+b的值.

分析 观察这个不等式的结构，经过配方发现，三个非负数的和小于1，结合a，b，c为整数这个已知条件，可以转化为三个非负数的和小于等于零，这样就可用“两边夹法”了.

解 由a2+3b2+3c2+13<2ab+4b+12c，得

（a-b）2+2（b-1）2+3（c-2）2<1，

考虑到a，b，c为整数，上述不等式即为

（a-b）2+2（b-1）2+3（c-2）2≤0，

又因为（a-b）2+2（b-1）2+3（c-2）2≥0，

所以由两边夹法得

（a-b）2+2（b-1）2+3（c-2）2=0，

解得a=b=1，c=2，

从而（a+c）-（a+b）a+b

=3-22=（2-1）2=2-1.

例6 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（-1，0），且对任意实数x，都有4x-12≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6.

求二次函数的解析式.

分析 条件中的不等式形式其实是不等式组，涉及这种结构形式的问题在平时较少遇到，有一定的难度.如何解决呢？我们不妨先比较4x-12和2x2-8x+6，看看这两个多项式是否有联系？各自因式分解后发现它们含有共同的因式x-3，结合已知条件对任意实数x，已知不等式组都成立，可以令x=3，这样就自然得到了“两边夹”的形式.

解 因为4x-12=4（x-3），

2x2-8x+6=2（x-1）（x-3），

且对任意实数x，都有

4x-12≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6，

所以当x=3时，都有

0≤9a+3b+c≤0，

由两边夹法得9a+3b+c=0，

即抛物线过点（3，0），又抛物线过点（-1，0），所以设所求抛物线的解析式为

y=a（x+1）（x-3）.

由a（x+1）（x-3）≥4x-12得

ax2-（2a+4）x+12-3a≥0，

因为它对任意实数x都成立，所以a>0且

（2a+4）2-4a（12-3a）≤0，

解得（a-1）2≤0，

又（a-1）2≥0，

所以再一次由两边夹法得a=1.

所以该二次函数的解析式为

y=（x+1）（x-3），

即y=x2-2x-3.

小结 以上6个典型例子的解法有个共同的特点，就是通过对方程或不等式经过变形、整理得到了符合两边夹的结构形式：“a≤x，且x≤a”，从而得到x=a，然后根据非负数取值最小值时等号成立的条件，求出方程或不等式中的各个未知数.这种“两边夹法”通过化归的途径实现了多题一解，起到了举一反三的高效解题效果.