构造一元二次方程解赛题
2022-05-30唐鹏久于先金
唐鹏久 于先金
当问题中含有形如：ax20+bx0+c=0，-b±b2-4ac2a，b2-4ac或a+b与ab这样的代数式时，可由此联想到一元二次方程、一元二次方程的求根公式、一元二次方程的判别式和一元二次方程的韦达定理，通过构造一元二次方程达到求解问题的目的.
1 由根的定义构造一元二次方程
例1 已知a2=a+1，b2=b+1且a≠b，求a5+b5的值.
解 由已知条件，可知a，b是一元二次方程x2-x-1=0的两个根.
由韋达定理可得a+b=1.
故原式=（a2）2a+（b2）2b
=（a+1）2a+（b+1）2b
=（a2+2a+1）a+（b2+2b+1）b
=（3a+2）a+（3b+2）b
=3a2+2a+3b2+2b
=3（a+1）+2a+3（b+1）+2b
=5（a+b）+6
=5×1+6=11.
例2 若（a+c）（a+d）=3，（b+c）（b+d）=3，且a≠b，求（a+c）（b+c）的值.
解 由（a+c）（a+d）=3，可得
a2+（c+d）a+cd-3=0.
同理，由（b+c）（b+d）=3，可得
b2+（c+d）b+cd-3=0.
因为a≠b，
所以a，b是一元二次方程
x2+（c+d）x+cd-3=0
的两个根，由韦达定理可得
a+b=-（c+d），ab=cd-3.
所以 （a+c）（b+c）
=ab+（a+b）c+c2
=（cd-3）-（c+d）c+c2
=cd-3-c2-cd+c2
=-3.
2 由求根公式构造一元二次方程
例3 若a=13+22，则a2-a+14的值为（ ）
（A）3+22. （B）22-3.
（C）5-422.（D）42-52.
解 显然a=13+22=3-22是一元二次方程x2-6x+1=0的一个根，
所以a2=6a-1.
所以a2-a+14=5a-34
=15-102-34
=57-4022
=42-52.
故选（D）.
例4 当x=-5+332时，多项式（4x3-1997x-1994）2001的值为（ ）
（A） 1. （B）-1.
（C）c2001.（D）-22001.
解 因为x=1+19942，
所以（2x-1）2=1994，
即4x2-4x-1993=0.
所以 （4x3-1997x-1994）2001
=[x（4x+1993）-1997x-1994]2001
=（4x2-4x-1994）2001
=（-1）2001=-1.
故选（B）.
3 由判别式构造一元二次方程
例5 已知5b-c=5a，求证：b2≥4ac.
解 要证b2≥4ac，只须证b2-4ac≥0，
由此联想到一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac.
由已知条件，可得
5a-5b+c=0，
所以，5可视为一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，
所以Δ=b2-4ac≥0.
故b2≥4ac.
4 由韦达定理构造一元二次方程
例6 已知2a2-8a+3=0，3b2-8b+2=0，且ab≠1，求a+1bb+1a的值.
解 由3b2-8b+2=0知b≠0，
所以21b2-8b+3=0.
又2a2-8a+3=0，且由ab≠1可得a≠1b，
所以a，1b是一元二次方程2x2-8x+3=0的两个根，由韦达定理可得a+1b=4.
同理，b，1a是一元二次方程3x2-8x+2=0的两个根，由韦达定理可得b+1a=83.
所以a+1bb+1a=323.
例7 已知实数a，b，c满足a+b+c=0，abc=8.求c的取值范围.
解 由题设可得a+b=-c，ab=8c，
由此可知a，b是一元二次方程x2+cx+8c=0的两个根，
所以Δ=c2-32c≥0.①
（1）当c<0时，不等式①恒成立;
（2）当c>0时，解不等式①得c≥234.
故c的取值范围为c<0或c≥234.
例8 已知x，y是正整数，并满足方程xy+x+y=71，x2y+xy2=880，求x2+y2的值.
解 由已知条件，可得
xy+（x+y）=71，xy（x+y）=880.
由此可知xy，x+y是一元二次方程t2-71t+880=0的两个根，
解得t1=55，t2=16.
因x，y是正整数，所以只有
x+y=16，xy=55.
故x2+y2=（x+y）2-2xy=162-2×55=146.
练习
1.已知a2=2a+1，b2=2b+1且a≠b，求a3+b3的值.
2.求1+526的整数部分.
3.计算：1+527-1-527.
4.设x=-5+332，那么代数式（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）的值为.
5.已知x，y为实数，且x2+xy+y2=1，求x2-xy+y2的取值范围.
答案
1.14. 2. 8. 3.135.
4.48. 5.13≤x2-xy+y2≤3.
