【摘要】本文以“数学学习迁移（Transfer of mathematics learning）”为主题，限期为2008年至2021年，检索中国知网（CNKI）期刊数据库，论文来源限于核心期刊，共检索到中文文献60篇. 通过CiteSpace5.8.R4可视化文献分析软件，对60篇知网核心文献的关键词、主要作者、研究机构进行知识图谱分析. 从研究内容来看，研究者主要围绕数学学习迁移的理论研究、知识学习中的迁移与问题解决中的迁移的实证研究，迁移理论在教学中的应用等方面展开. “类比迁移”“数学知识”“核心素养”成为数学学习迁移领域研究的前沿问题.

【关键词】数学学习;迁移;知识图谱

喻平、连四清等著名学者编著的《中国数学教育心理研究30年》，系统地整理了1987～2008年30年间我国数学教育心理学领域的相关研究. 在对数学学习迁移问题的主要研究内容进行概括的基础上作出了较为全面的分析[1]. 为了填补近15来国内关于数学学习迁移问题综述的空白，本文对近15年国内关于数学学习迁移研究文献进行梳理，采用文献计量法与内容分析法，通过CiteSpace 软件可视化的特点[2]，对中国知网（CNKI）2008～2021年刊载的数学学习迁移研究的核心期刊文献进行定量分析，然后对主要研究内容作了质性分析，旨在便于更好地開展有关数学学习迁移的研究.

1数据来源与研究方法

1.1数据来源

文献数据源于中国知网（CNKI）期刊数据库，在期刊页面中的高级检索界面使用检索词“数学学习迁移”进行精确检索;检索时间限制为2008年1月1日至2021年11月11日. 文献类别限制为CSSCI及核心期刊，共检索获得129篇文献. 所有检索到的文献均采用人工筛选，排除会议、报告等非研究性论文以及涉及材料、化工、人口等非教育类别的研究文献，最后得到了60篇核心文献，确定为有效数据.

1.2研究方法

本文主要以CiteSpace5.8.R4可视化论文分析软件为主要研究工具，通过文献计量法与内容分析法相结合的方式，对已检索到的60篇论文展开数据分析. 通过对文献查阅以及对知识图谱的解读，梳理了近15年来我国数学学习迁移领域的主要研究内容.

2数学学习迁移研究的计量学及知识图谱分析

2.1年度发文量

图1是基于过去15年发表的数学学习迁移主题的论文数量而绘制的折线图. 图1显示，2008～2021年，数学学习迁移论文发表量波动较大，在2018年出现了高峰，发文数量多达11篇，其原因在于2018年，教育部出台的《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出了“教师要善于根据不同的内容和学习任务采用不同的教学方式，优化教学，抓住关键的教学与学习环节，增强实效. ”[3]面对新课标提出的新要求，研究者的目光聚焦于如何将数学学习迁移理论应用到数学教学的具体实践中，在不同教学内容中发现数学知识的内在逻辑关系，从而能够帮助学生从整体上建构数学知识结构，培养数学思维，进而提高学生的数学学科核心素养.

2.2期刊分布情况

文章中60篇中文期刊文献，全部选自于核心期刊，根据期刊载文量由高到低排序，依次为《教学与管理》《数学教育学报》《数学通报》，占比和约为总量的55%. 期刊分布情况如图2所示.

2.3核心研究作者

在CiteSpace中，将节点类型设置为作者，时区划分设置为2008年至2021年，时间切片为一年，将阈值设定为2，可以获得作者共现的网络知识图谱.

绘制图谱得到作者81位，连线63条，图中作者名字字体越大，就意味着该名作者的发文量越多，名字间连线越粗，合作强度就越高，不同颜色的线条表示不同年份的合作. 由图3可知，国内从事数学迁移研究的研究者较多， 但高产作者少. 发文量在2篇以上的作者寥寥无几，由此看出近年来数学学习迁移的研究尚未引起教育界的广泛重视. 在作者合作关系方面，图谱显示该领域连四清和张令伟等合作关系最紧密，形成了1个聚集度最大的研究团体，并且这一研究团体发文量较多.

2.4核心研究机构

为考察在数学学习迁移领域的高发文机构并厘清这些机构之间的合作关系，在CiteSpace软件中将“机构”设置为节点类型，文献限制阈值为1，可以得到数学学习迁移领域的机构分布以及机构间合作关系的图谱.

分析图谱可以发现，研究机构类型主要为高等师范院校的数学学院及教育学院、各级各类教研部门和中小学. 从整体来看，中小学聚集了较多一线教育工作者，而高等师范类院校则聚集了较多的数学教育领域的研究人员. 因此，高等师范类院校成为数学学习迁移研究领域的主力军. 从合作空间来看，有较多的研究机构群体，但机构间基本没有合作，研究基本都是独立进行的.

2.5研究的关键词

关键词是一篇论文的核心和内容的精细化表达，通过关键词和频数分析可以确定某一领域当前研究的热点，使用CiteSpace 软件描绘关键词的知识图谱.

结果显示Q值为0.86（>0.3），S值为0.97（>0.5），可以认为聚类结果合理. 将共被引频次大于3的关键词定为热点词. 分析图谱可以发现，数学学习迁移主题较为零散，但存在数学知识、类比迁移、迁移等热点词.

3研究的主要内容分析

将相关文献的研究主题分为数学学习迁移的理论研究、数学学习迁移的实证研究、迁移理论在教学的应用三个方面展开分析.

3.1数学学习迁移的理论研究

迁移是数学学习中一个非常常见的现象，学生利用迁移结合所学的知识进而解决数学问题. 近年来研究者主要是从两个方面对数学学习迁移展开理论研究.

一方面，研究者从心理学出发，探讨一般迁移规律在数学学科中的应用. 例如，张琳霓提出，训练工作记忆可以将效果迁移到未经训练的认知功能上[4]. 如果将工作记忆视为资源有限的注意力控制和处理系统，通过训练该领域的通用功能系统，可以提高数学计算、模式识别、策略选择等功能，这将为未来提高数学学困生的认知加工效率从而提高数学学业成就发挥重要作用[5]. 刘伟则从现代迁移理论出发，探索致力于知识迁移的深度学习的路径. 并指出深度学习是为进行知识迁移的必要方法与根本手段;知识迁移的规模与质量反映出深度学习的效果[6].

另一方面，随着认知心理学在数学教育领域的应用，研究者更多地聚焦于研究数学学科中的迁移问题. 例如李淑文把数学问题分为同质问题和相似问题，从样本问题中获得的知识分为“求解方法”和“压缩求解方法”从而提出“压缩求解方法”能够促进类似题目的迁移[7]. 唐劍岚指出：对不同的教学内容，引导学生深度参与学习会产生不同程度的迁移[8]. 促进迁移的产生不仅要考虑样例设计，还需要考虑学生的认知负荷以及非认知因素等等[9]. 刘洪超从慢教育素养心理学出发，提出了数学课程的内驱系统与数学方法、数学思维、数理才能和审美数学品质之间具有内在关系一致性. 对迁移综合监控心理属性的探究，有利于提高学生的迁移能力，最终促进学生数学核心素养体系的空间建立[10].

3.2数学学习迁移的实证研究

随着研究者对数学学习迁移领域研究的深入，研究方法逐渐多元化，不仅关注于理论思辨研究，也展开了大量的实证研究. 归纳起来，研究者主要是围绕知识学习中的迁移与问题解决中的迁移两个方面来展开实证研究.

3.2.1知识学习中的迁移研究

数学知识学习中的迁移在培养学生数学思维方面具有重要作用，通过数学知识的迁移，可以帮助学生在原有基础上掌握新知识，发展新技能，逐渐将数学知识转化为数学能力. 杜雪娇等人的实验证明，通过用学生已知的算符和运算规则在运算样例中“解释”新算符的运算含义和新运算规则来设计运算样例，迁移成绩明显高于学习普通样例的迁移成绩. 因此该种解释方法有利于学习者对新算符以及代数运算规则的理解应用，有助于培养学生的抽象逻辑思维以及对数学语言的理解能力[11]. 任金杰等人以平均数差异检验为学习材料，通过实验证明自我解释有利于被试更好地概括出与样例各步骤相关的概念原理信息，引起学生的深度思考，从而能有效地促进概念原理的掌握和对数学知识的迁移. 激发学习者进行自我解释不但能帮助被试掌握并灵活使用学习方法，还能提高迁移的稳定性[12].

3.2.2问题解决中的迁移研究

在认知心理学领域，研究者已经对数学问题解决进行了比较系统的研究，数学问题解决是使某个数学问题得以解决的思维活动. 数学样例是数学问题和这一问题解答方法的结合，既能解释数学问题的内在原理，又能对解决同类数学问题起到示范作用[13]. 近15年来有大量研究者对数学样例在数学问题解决中的迁移展开实证研究，主要关注于以下两个部分：

其一，为促进迁移如何设计样例. 数学符号、公式等抽象知识往往不易被学习者直接掌握，而用数学样例来表达相应的数学规则，则更容易被学习者掌握[14]. 但就这一问题，研究者中出现了两种相悖的意见：一些研究者认为数学样例提供了标准的解题方法，可以方便学习者仿照样例进行学习，从而促进学习者对方法原理的学习[15];而另外一些研究者则认为，学习者从样例中获得的通常都是固化的知识，一旦题目发生变化，学习者就很难将习得的规则迁移到新的问题上[16]. 因此研究者将目光聚焦于如何设计样例才能促进学生进行有效地迁移. 相关研究主要有以下两个方面：第一是设计多样的样例来激发学习者对样例的自我解释，便于学习者理解样例并促进迁移[17]. 例如，喻平运用实验方法证明被试在处理完关于子图的问题后，通过将子图置于更复杂的图形中的方式，会产生通过子图构造母图和从母图中分解子图的观念和意识，从而实现了提高对靶题和源题共性意识水平的目的，并形成迁移. 由此认为在几何教学中，教师应当引导学生对基本图形的理解，并由基本图形构造的问题出发设计样例，从而训练学生的空间想象能力[18]. 第二是设计能促进学习者掌握问题本质的样例，进而推动学习者的问题解决迁移. 例如蔡晨等人通过实验证明正、误样例的相似程度越高，迁移效果越好. 正、误样例中一些微小的差别更容易引起学习者的注意，从而有助于学习者对正、误样例分析对比，方便学习者发现错误样例，分析错误原因，从而把握问题的本质特征，提高迁移成绩. 因此在教学活动中，教师应当设计相似度较高的正误样例进行教学，以促进学生发现并改正错误，进而提高教学效率[19].

其二，影响样例学习迁移的因素. 在数学教育领域，研究人员主要专注于在数学问题解决中研究影响样例学习迁移的各种因素. 这些相关的研究对系统探讨影响数学问题解决以及对数学概念、定理迁移的因素具有深刻意义.

（1）样例影响数学学习迁移. 研究表明和知识迁移相比较，迁移在数学学习策略中存在着更大的范围[20]. 除此之外，宁宁通过解题步骤来刻画源问题和靶问题相似性的操作方法，即用解题步骤的相似性来衡量样例变异水平的高低，结果表明：样例的变异程度对近迁移的结果影响不大，但对远迁移的影响程度却是显著的[21].

（2）样例设计影响数学学习迁移. 样例的设计主要包括展现样例自身的有关内容以及如何对样例进行练习. 莫雷认为：学习内容的表面概貌和内在原理以及他们的交互作用都对迁移具有不同程度的影响[22].杜雪娇等人设计了三种样例呈现方式（将解释全部呈现给学生;按学生需求，若学生没看懂则可点击呈现解释;按照学生填写正误，若回答错误则呈现解释）并提出相比于全部呈现，按需求呈现减少了样例学习时间并增加了实际应用成果，但却不能增加迁移成果;而按正误呈现则同样减少了样例学习时间，并且同时增加了实际应用和迁移成果[23]. 但有些研究则发现样例的设计对数学学习迁移并没有显著影响，譬如郭凯路、张令伟的研究表明，对于余弦定理这一教学内容来说，不同的样例呈现方式对其迁移没有显著差异[24].

（3）学习者本身影响数学学习迁移. 迁移不仅受到学习任务的难易、所学各种材料的相似性等各种因素的影响，还受到学习者自身因素的影响. 学生的原有认知结构是迁移产生的最根本因素，它决定着学生是否能够熟练灵活地学习和运用知识. 张令伟、连四清在探究余弦定理解题迁移的问题中，通过实证的方法证明对于示范性高中的学生来说，样例的表现方法对余弦定理的解题迁移没有显著影响，而学生类型和迁移水平则对迁移有显著影响. 而对于普通高中的学生来说，采用不同的样例呈现方式以及学生的类型会对余弦定理的解题迁移造成怎样的影响，有待于进一步的研究[25].  罗蓉等人的研究表明，源、靶问题的表面相似性是影响迁移的主要因素，不同年级的被试解决数学问题的成绩差异显著，随年级的增长，通过学习导致的知识水平和能力不断增长，进而推动了迁移水平的提高;学习者在解决数学问题时，对某题是否容易、熟悉、有把握地解决的主观评判结果和该题分数呈现出显著的相关，体现出学习者解决问题时的元认知监控能力是影响在问题解决中成绩迁移的一项关键因素[26].

3.3迁移理论在教学中的应用

提高数学课堂效率，培养学生数学学科核心素养是数学教育研究的一项根本任务，因此探究学习迁移规律在数学教学中的应用是近15年来大多数数学教育研究者关注的焦点. 例如，陈健提出教师在展示数学教材时，除了纵向遵循从普遍到个体的原则外，还应该从横向进行全面整合，以加强数学概念和数学思想方法间的联系[27]. 沈俊指出要突破教学局限，从而引导学生从更广阔的视角去理解概念间的联系，整合已有的经验，把以前看似不相关的概念联系起来，从而形成数学知识体系[28]. 童晓芳提出在选择“两位数乘两位数”竖式计算数据上，应避免负迁移，从而使学生真正地掌握计算方法，培养数学计算的能力[29]. 于正军认为数学方法的迁移本质是思维的迁移. 只有思维产生迁移，才能在分析定量关系的过程中抓住解决数学问题的思维支点，领悟数学思想[30]. 陆光洲从情景出发，提出“数学源于生活又用于生活”这一观点，教师在日常教学中要注重联系数学知识和实际生活，推动学生从生活常识向数学知识的迁移[31].

3.4数学学习迁移研究述评

近15年来，尽管我国学者对数学学习迁移开展了大量的研究，但通过分析这些研究可以发现，仍存在着一些不足. 首先研究主题依旧不够深入，上述研究的研究者大多聚焦于如何运用迁移本身的规律性，改善数学教学效果，体现数学学科学习特征的迁移研究不足. 且对数学学习迁移的研究集中在数学知识和技能的迁移，而忽略了在数学知识中所涵盖的数学文化和思想、情感的迁移. 其次，实证研究的内容与深度不够. 尽管研究者对数学学习迁移这一问题开展了大量的实证研究，但研究主题大多停留在探讨数学样例在数学问题解决中的迁移，且研究内容关注于数学知识体系中的某一个内容展开，缺乏更深入的研究，使得这些研究对于数学基础课程和教育教学实践并没有更广泛的指导价值. 再次，国内外的研究并没有完全接轨. 随着科技的进步和知识理论的不断完善，国外研究者开始探讨学习迁移的机制和规律并产生了现代学习迁移理论. 国内有关数学学习迁移的研究是在国外相关迁移理论的基础上进行的，主要集中在数学学习迁移的影响因素和培养策略两个方面，与国外研究并没有完全接轨. 因此上述问题都必须借助于更现代的科学研究方法进行更加深入的研究.

4研究展望

本文系统地介绍了近15年数学学习迁移的研究成果，揭示了近年來数学学习迁移主要的研究主题和内容. 目前，虽然学术界对数学学习迁移从迁移机制、培养策略、影响因素等方面做了较为系统的研究，但由于数学学科抽象性、逻辑性等特点，在该领域仍然留下了许多需要进一步研究的方向. 在未来的研究中，应重点关注以下几个方面：

（1）开展与数学课程改革密切相关的学习迁移研究. 随着新课改的不断深入，“数学核心素养”已成为当今数学教育研究的热点问题. 尽管目前已有大量的研究关注数学核心素养和数学学习迁移，但是很少有研究将二者结合起来. 因此基于数学核心素养背景下，如何提升学生的数学迁移能力是今后的一个研究方向.

（2）突出数学学科学习特征的迁移研究. 数学学习迁移是数学思维活动的表现形式，不仅要实现在数学学科内部的迁移，还要实现数学思维在其他学科以及学习者的日常生活中的迁移. 因此，建立数学知识的内在联系，开展突出数学学科学习特征的迁移研究，探究在数学学科中的迁移机制，对提高教学质量，提升学生的迁移能力有着重要的意义.

（3）开展有创意的实证研究. 近年来，许多学者对数学学习迁移开展了实证研究，该方法不仅契合当下研究主流，且具有一定的前瞻性，是对先前方法的有效补充，更大程度上对研究的信度和效度进行了佐证，使研究体系更具有系统性和完整性. 但是，在实验设计方面缺乏创新，许多研究都是沿用传统方法，今后的研究要提倡在方法上的创新.

（4）开展与教学实践密切相关的问题研究. 贾德提出迁移的概括化学说，指出二种学习之间所具有的一致性要素是迁移产生的必要前提条件. 如果进行概括，那么两种情景间就可能发生迁移. 把该原则运用到数学课堂上，同样的教学内容采取不同的教学方法，产生的迁移效果是不一样的. 所以针对不同的学习问题，开展与教学实践密切相关的问题研究，促进正迁移的产生，减少负迁移的产生，提高学生的迁移能力也是数学学习迁移的一项重要研讨问题.

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作者简介周雅萱（1998—），女，河北石家庄人;南京师范大学数学科学学院2020级硕士研究生;主要研究数学教育.