刘顿

从动点到函数图象，是指点在几何图形上运动，引起线段长度、面积大小等变化的函数图象问题. 解题思路为：找出代表问题变化的两个变量，由动点运动痕迹判断趋势或特殊点.

一、由函数关系描述函数图象

例1 （2021·新疆）如图1，在矩形ABCD中，AB = 8 cm，AD = 6 cm，点P从点A出发，以2 cm/s的速度在矩形的边上沿A→B→C→D运动，点P与点D重合时停止运动. 设运动的时间为t（单位：s），△APD的面积为S（单位：cm2），则S随t变化的函数图象大致为（）.

解析：当点P在线段AB上运动时，AP = 2t，S = [ 12] × 6 × 2t = 6t，S随t呈直线变化，排除选项B;当点P在线段BC上运动时，S = [ 12] × 6 × 8 = 24;当点P在线段CD上运动时，DP = 8 + 6 + 8 - 2t = 22 - 2t，S = [ 12] × AD × DP = [ 12] × 6 × （22 - 2t） = 66 - 6t，S随t呈直线变化，排除选项A和选项C，只有选项D符合题意. 故选D.

二、由函数图象描述函数关系

例2 （2021·湖南·郴州）如图2，在边长为4的菱形ABCD中，∠A = 60°，点P从点A出发，沿路线A→B→C→D运动. 设点P经过的路程为x，以点A，D，P为顶点的三角形的面积为y，则下列图象能反映y与x的函数关系的是（）.

解析：过点B作BE⊥AD于点 E，如图3，

∵四边形ABCD是菱形，∴AB = AD = BC = 4.

∵∠A = 60°，∴∠ABE = 30°，∴AE = 2，BE = 2[].

在点P从点A向点B运动的过程中，过点P作PF⊥AD于点F，如图4，

∵AP = x，∴AF = [ 12]x，PF = [ 32]x，∴S△ADP = [ 12]·AD·PF = [ 12] × 4 × [ 32]x = [ 3]x，

∴S△ADP逐渐增大.

当点P在线段BC上时，S△ADP = [ 12]·AD·BE = [ 12] × 4 × 2[ 3] = 4[ 3]，S△ADP不变.

当点P在线段CD上时，如图5，过点P作PM⊥AD，交AD的延长线于点M，

则AB + BC + CP = x，∴DP = 12 - x，DM = 6 - [ 12]x，PM = [ 3]DM = 6[ 3] -[ 32]x，

∴S△ADP = [ 12]·AD·PM = [ 12] × 4 × [63-32x] = 12[ 3] -[ 3]x，且S△ADP逐漸减小.

故选A.

分层作业

难度系数：★★★★解题时间：10分钟

（2021·湖南·衡阳）如图6①，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P，Q两点同时从点O出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动. 点P的运动路线为O→A→D→O，点Q的运动路线为O→C→B→O.设运动的时间为x秒，P，Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系图象大致如图6②所示，当点P在A→D段上运动且P，Q两点间的距离最短时，P，Q两点的运动路程之和为____厘米. （答案见第37页）