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分类讨论与有序化思想的运用

2022-05-30雷添淇

初中生学习指导·提升版 2022年7期
关键词:符合条件数轴原点

雷添淇

例(第九届数学创新应用大赛复赛八年级试题)M,N,P,Q分别是数轴上四个不同的数所对应的点,且[MN=NP=PQ=a],[a]为整数,数[a]对应的点在线段[MN]上,数[b]对应的点在线段[PQ]上. 若[|a|+|b|=3],则原点可能是().

A. [M]B. [N]C. [P] D. [Q]E. 以上选项均不可以

解析:因为M,N,P,Q是四个不同的点,且[MN=NP=PQ=a],[a]为整数,所以M,N,P,Q在数轴上从左至右的顺序排列为:M,N,P,Q或Q,P,N,M,且[a]为正整数.由[|a|+|b|=3],可知[a+|b|=3],从而[a为1或2或3]. 因为数[a]对应的点在线段[MN]上,且[MN=a],所以若M,N,P,Q中有原点,则[a]应该对应点N或点M.

下面按照这四个点的排列顺序分类讨论(注:用“→”表示对应):

(1)当点M,N,P,Q在数轴上从左至右排列时,如图1,

可按照[a]的取值分类讨论:

(i)当[a=1]时,[b=±2]. ①[a(1)→M],[b(2)→N],与已知条件“[b]对应的点在线段[PQ]上”矛盾;②[a(1)→N],[b(2)→P],[0→M],符合条件.

(ii)当[a=2]时,[b=±1]. ①[a(2)→M]对应,与已知条件“[b]对应的点在线段[PQ]上”矛盾;②[a(2)→N]对应,与已知条件“[b]对应的点在线段[PQ]上”矛盾.

(iii)当[a=3]时,[b=0],与已知条件“[b]对应的点在线段[PQ]上”矛盾.

(2)当点Q,P,N,M在数轴上从左至右排列时,如图2,

(i)当[a=1]时,[b=±2].

①[a(1)→M],[0→N],[b(-2)→Q],符合条件;②[a(1)→N],與已知条件“[b]对应的点在线段[PQ]上”矛盾.

(ii)当[a=2]时,[b=±1]. ①[a(2)→M],[0→N],[-2→P],与已知条件“[b]对应的点在线段[PQ]上”矛盾. ②[a(2)→N],[0→P],[-2→Q],此时[b(-1)]对应的点在线段[PQ]上,符合条件.

(iii)当[a=3]时,[b=0]. ①[a(3)→M],[0→N],与已知条件“[b]对应的点在线段[PQ]上”矛盾. ②[a(3)→N],[b(0)→P],符合条件.

综上所述,原点可能对应[M,N,P].故应选ABC.

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