张海涛

[摘  要] 启发式教学是人类教育思想的精华，但在当今的课堂教学中，相当一部分教师对启发式教学的理解还存在偏差. 在课堂教学中采用启发式教学，教师应抓住问题的启发时机，善于利用知识的启发原型，准确把握教师的启发力度，从而启迪学生积极思考，使得学生的数学思维得以发生和发展.

[关键词] 启发式教学;启发原型;教学原则;尺规作图

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出“教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教”“教师应成为学生学习活动的组织者、引导者、合作者，为学生的发展提供良好的环境和条件”. 这里，教师的组织作用强调教师应该“选择适当的教学方式，因势利导、适时调控，努力营造师生互动、生生互动、生动活泼的课堂氛围，形成有效的学习活动”;教师的引导作用强调教师应该“通过恰当的问题，或者准确、清晰、富有启发性的讲授，引导学生积极思考、求知求真，激发学生的好奇心”;教师与学生的合作作用强调教师应该“以平等、尊重的态度鼓励学生积极参与教学活动，启发学生共同探索，与学生一起感受成功和挫折，分享发现和成果”. 《义务教育数学课程标准（2011年版）》同时阐述了“实行启发式教学有助于落实学生的主体地位和发挥教师的主导作用. 教师富有启发性的讲授;创设情境、设计问题，引导学生自主探索、合作交流;组织学生操作实验、观察现象、提出猜想、推理论证等，都能有效地启发学生的思考，使学生成为学习的主体，逐步学会学习”[1]. 这些内容都在向教师传递一个信息，那就是在课堂教学中，教师应十分重视启发式教学的重要性. 但是，在当今的课堂教学中，相当一部分教师对启发式教学的理解还存在偏差，例如有的教师重外在的实际情境启发，而轻内在的内部情境启发;重课堂中提问的数量，而轻课堂中提问的质量;重问题结果的启发，而轻思维过程的启发. 下面，笔者就“作一个角等于已知角”的教学设计，谈一谈怎样进行有效的启发式教学.

启发式教学的教学设计

（一）教材分析

本节课选自苏科版七年级上册第六章第二节“角”的第2课时. 第六章包含三部分内容，即线段、射线及直线的概念、表示与性质，角的概念、表示与性质，直线平行与垂直的概念、表示与性质. 本章属于几何学的入门章，旨在通过对最基本的几何图形的概念与性质的探讨，体验研究几何图形的思考路径“为何需要—是什么—如何表示—有何性质”，以及研究几何图形的一般方法“观察操作—探索猜想—说理证实”. 线段实际上反映了两点之间的分离及分离程度，角实际上反映了两条相交直线之间的分离及分离程度，平行实际上反映了两条平行直线之间的分离及分离程度. 本节课的内容是两角大小关系中相等关系这一概念模型的运用. 学生在小学阶段已经学习过三角尺、量角器及其應用，在线段的学习过程中也初步接触了圆规的使用，且学生已初步理解和掌握了线段及角的定义、表示方法、大小比较、度量以及和差关系等相关知识，本节课是上述知识的延续，要为接下来学习余角、补角及对顶角的相关知识奠定基础. 八年级学生在“轴对称图形”的学习中还会学习尺规作图，与本节课所讲知识相关，因此本节课在整个教材体系中有着承上启下的重要作用.

（二）学情分析

学生在小学阶段已经学习过用三角尺以及量角器画一些特殊度数的角，在“角”的第1课时学习中，他们积累了利用直尺和圆规作一条线段等于已知线段的经验，但对于如何作一个角等于已知角（任意度数），他们操作起来仍然存在困难. 他们迫切地想知道如何解决这一问题，所以本节课的内容处在学生的最近发展区，教师可以通过类比量角器画角，引导学生观察、探索、交流、归纳出“用直尺和圆规作一个角等于已知角”的作法步骤，使得“角的作法”自然形成. 此处将学生的相关学习经验和学习方式进行了迁移，将学生的原有认知作为新知的生长点.

（三）教学流程

如图1所示.

（四）教学过程

1. 类比旧知，引出新知

让学生观察手中的工具包，并启发他们回顾旧知：

（1）利用这些熟悉的工具，你能画出哪些基本的几何图形？

（2）我们研究了角的哪些知识、线段的哪些知识？

（3）类比线段的探究过程与研究方法，猜一猜本节课我们将研究角的什么知识.

设计意图教师先行组织，以学生原有的认知作为新知的生长点和研究工具，以问题串的形式来启发、驱动教学，自然地引出本节课的探索目标，即作一个角等于已知角.

2. 探究问题，尺规建构

【活动一：用直尺作角】

（1）用一把直尺，在透明纸上作一个锐角（记作∠MON）.

（2）说说你的作图步骤.

（3）观察自己用直尺作的角与同桌所作的角是否相等，理由是什么.

设计意图通过作图让学生再次回顾角的定义及表示，启发学生回顾比较角大小的度量法与叠合法，为后续作相等的角做铺垫.

【活动二：用三角尺作角】

（1）利用三角尺，同桌之间能否作出相同的角？

（2）利用一副三角尺，你还可以作出哪些特殊度数的角？

设计意图此内容处于学生的最近发展区，能迁移学生原有的学习经验，且问题串层层推进，能激活学生的元认知.

【活动三：用量角器作角】

（1）用量角器如何作出47°的角（记作∠COD）？说说你的作图步骤.

（2）用量角器如何作一个角等于已知角？

接着，将五个刻度被污损的量角器发给学生，让他们用此量角器在纸上作出∠A′O′B′，使它等于已知的∠AOB.

设计意图再次迁移量角器的学习经验，回顾量角器量角与作角的步骤，感悟三角尺便于作特殊角，量角器便于作任意角，两者都是以数助形的方式，同时借助污损的量角器，启发学生思考“如何借助无刻度的量角器作一个角等于已知角”.

【活动四：尺规作角】

分步转化量角器作角过程：

（1）使用量角器量角与作角的关键是什么？

（2）观察角在大小变化的过程中，对应点之间的距离变化情况.

（3）不移动量角器，能否用圆规在作图纸上复制一个相同的量角器边缘？

（4）如何借助尺规再次描出终边上点的位置？

（5）观察所画的角是否相等，观察同桌之间构造量角器时所画弧的半径是否相等（透明纸验证）.

设计意图借助几何画板的动态演示，启发学生感悟使用量角器作一个角等于已知角的关键，通过角的大小变化直观感受角的大小与量角器边缘上两点之间的线段长度有关，启发学生将量角器的读数定点向尺规的画弧定点转化. 通过量角器画弧的大小不同但构造的角相同，同时借助几何画板演示不同半径下同一个角的作图，启发学生感悟复制的第一道圆弧的大小具有任意性，使得学生不仅知道作图的步骤，而且知道实施每一步的理由，既会“作图”，又能“明理”，启发学生初步感知尺规作图的操作步骤与原理.

3. 新知学习，问题解决

（1）师生一起归纳作图步骤.

（2）利用圆规和无刻度的直尺作∠DEF，使其与活动一中所作的∠MON相等.

设计意图第（1）问旨在启发学生再次清晰作图步骤，弄清作图原理，使学生突破思维难点;第（2）问旨在让学生再一次对尺规作图进行内化，优化学生的认知结构，完善学生的知识体系.

4. 提出新问题，新知再建构

（1）类比线段中点，角的内部是否存在某条线将角等分成相等的两部分？利用手中的透明纸找一找.

（2）你有什么方法确定它们相等？

（角的平分线：如图2所示，射线OC把∠AOB分成两个相等的角，射线OC叫∠AOB的平分线）

（3）图2中共有几个角？它们之间有怎样的数量关系？

（4）类比线段中点的符号语言，你能用符号语言表示角的平分线吗？

练习：如图2所示 ，OC平分∠AOB. 如果∠AOB=50°，那么∠AOC=∠BOC=______，∠AOC=______×50°=______°;

如果∠AOC=25°，那么∠AOB=______∠AOC=______，∠BOC=______°.

设计意图概念教学应明其内涵，拓其外延，知其本质. 此处引导学生类比线段的中点，启发学生尝试说出角的平分线及其符号语言表达. 练习给学生搭台阶，小台阶式递进，启发学生理解三个角之间的“相等关系、倍数关系、半数关系”，使学生对角的平分线的学习过渡自然.

例题：如图3所示，∠AOD=80°，OB是∠AOC的平分线，∠AOB=30°，求∠AOC和∠COD的度数.

追问：你能否逆向类比，仿照例题编一个与线段中点有关的问题？

设计意图例题是角平分线的应用. 教学中教师应引导学生理解符号的使用是数学表达和数学思考的重要形式，要会用“因为……所以……”的句式进行简单的计算及推理，发展有条理的思考能力及数学表达能力. “追问”能启发学生逆向类比，内化平分的本质.

5. 提出问题，总结反思

（1）本节课你学习了哪些知识与方法？

（2）在学习的过程中，你感悟到了哪些数学思想？

（3）生活中还有哪些工具可以帮助我们作一个角等于已知角？

设计意图启发学生对知识方法进行归纳、提炼、总结、比较，体会类比和转化的数学思想，形成理性认识，内化数学方法和经验. 第（3）问旨在让学生理解作一个角等于已知角的本质，启发学生跳出作图工具，从数学中的作图工具延伸到生活中的作图工具.

6. 布置作业，延伸课外

必做题：补充习题 6.2 角（2）.

选做题：查阅“尺规作图不能问题”.

设计意图分层设置作业，旨在巩固“双基”的基础上，让不同的学生在数学上得到不同的发展，并为后续继续学习尺规作图打下基础.

怎样进行有效的启发式教学

“启发”二字，源于孔子所说的“不愤不启，不悱不发，举一隅不以三隅反，则不复也”（《论语·述而》）. 所谓“不愤不启”，就是当学生还没有搞懂问题时，教师要给予适当指导，帮助学生开启思路;所谓“不悱不发”，就是当学生对问题尚未考虑成熟难以表达时，教师要帮助学生明确思路，用准确的语言表达出来[2]. 也就是说，如果学生在学习过程中未能达到“愤”“悱”的心理状态，教师则不宜越俎代庖. 只有在学生“心愤口悱”的情况下，教师才能启而发之，并收到举一反三之效[3]. 在数学教学中，数学启发式教学是指教师从学生已有的数学知识、经验和思维水平出发，力求创设“愤悱”的数学教学情境，以形成认知和情感的不平衡态势，从而启迪学生积极主动地思维，引导学生学会思考，使学生的数学思维得以发生和发展，数学知识、经验和能力得以生长，并从中领悟数学本质，达到教学目标[4]. 在实施启发式教学的过程中，教师至少应该做到以下三点：及时抓住问题的启发时机，善于利用知识的启发原型，准确把握教师的启发力度.

1. 及时抓住问题的启发时机

问题是数学的心脏，科学知识的增长永远始于问题，终于问题，而且越深化的问题，越能启发新的问题. 《礼记·学记》中强调“善问者如攻坚木，先其易者，后其節目，及其久也，相说以解”. 这就告诉我们，对数学教师来说，在数学教学中要学会“善问”，先易后难，由浅入深，久而久之，学生就可以愉快地解决难题. 如上面的“类比旧知，引出新知”环节，教师提出问题“观察手中的工具包，里面有哪些作图工具”“利用这些熟悉的工具，你能画出哪些基本的几何图形”. 在学生回答“能画出线段、角……”时，教师可追问“我们研究了角的哪些知识、线段的哪些知识”“类比线段的探究过程与研究方法，猜一猜本节课我们将研究角的什么知识”. 在学生“愤”“悱”时，教师抓住时机，启发学生思考系统学习的线段的知识，等学生回顾了线段的相关知识后，教师再次启发学生类比线段的探究过程与研究方法猜想本节课的研究内容，从而让本节课的研究内容水到渠成. 在“探究问题，尺规建构”环节，教师因势利导，及时启发学生“观察自己用直尺作的角与同桌所作的角是否相等”“利用三角尺，同桌之间能否作出相同的角”“利用一副三角尺，你还可以作出哪些特殊度数的角”“用量角器如何作出47°的角（记作∠COD）”“用量角器如何作一个角等于已知角”. 教师抓住启发时机，环环相扣，进一步帮助学生完善了认知结构.

2. 善于利用知识的启发原型

学生的认知过程是一個旧知识不断同化新知识的过程，因此，在课堂教学中，教师应该将学生的原有认知作为新知的生长点来组织课堂教学，应善于调动学生已有的知识库，从学生的知识库中提取有效的启发原型，即有效提取学生原有认知结构中用以同化新知识、解决新问题的相关材料. 例如，在“探究问题，尺规建构”环节，在如何利用无刻度的量角器作一个角等于已知角的过程中，教师提出问题“使用量角器量角与作角的关键是什么”“观察角在大小变化的过程中，对应点之间的距离变化情况”“不移动量角器，能否用圆规在作图纸上复制一个相同的量角器边缘”“如何借助尺规再次描出终边上点的位置”. 此处将学生原有量角器量角与作角的活动经验作为新知识的启发原型，易于学生理解作一个角等于已知角的关键是寻找角的终边上点的位置. 教学时，教师通过几何画板直观展示，启发学生感受量角器已不再具有读取度数的功能，而是提供了终边上点的运动路径，即半圆的功能，进而引导学生将量角器的功能向尺规转化，引出尺规的画圆弧以及截取等长度线段的功能，引发学生初步感知尺规作图操作流程. 在教学“角的平分线”环节，教师抓住线段中点这一原型，启发学生类比线段中点，说出角的平分线的概念及符号语言表达，加深了学生对角平分线等分角的理解. 这些环节的设计都以知识的启发原型为学生新知学习的固着点与向导，引导学生将新知同化到自己的旧知中，从而收到“启而得发”的效果.

3. 准确把握教师的启发力度

准确把握启发力度，是实施启发式教学的关键之一. 《礼记·学记》中谈到：“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达. 道而弗牵则和，强而弗抑则易，开而弗达则思. 和易以思，可谓善喻矣. ”它启示我们：高明的启发艺术是教师给予学生适当的引导，而不是牵着学生，拖着他们走;是给予学生激励和鞭策，而不是给学生施加压力，抑制学生的进取精神;是给予学生稍加点拨和提示，开个端倪，而不是把道理或结论和盘托出，代替他们思考. 这样就能达到师生关系融洽、学生学习顺利且独立思考的目的. 若用现代学习论的观点来说，适度的启发就是从学生现有的认知水平出发，遵循“最近发展区”原理，让学生“跳起来摘桃子”，使其“伸手不及，跳而可获”[2]. 如上面关于角平分线的符号语言表达环节，教师询问学生后，发现学生处于“心求通而未得，口欲言而未能”的愤悱状态，于是引导学生回忆线段的中点的符号语言表达，学生自然得出角平分线的符号语言表达. 整个过程中，教师只是稍加点拨，并没有强行牵着学生思考. 在课堂小结环节，教师提出问题“生活中还有哪些工具可以帮助我们作一个角等于已知角”后，适当留白，开个端倪，并没有把方法和结论和盘托出，代替学生思考. 可见，有效的启发式教学要求教师准确把握启发的力度.

小结

“学起于思，思源于疑.”学生的数学思维活动主动积极，以形成思维激活、情感亢奋的“愤悱”状态是启发式数学教学的关键[5]. 启发式教学是人类教育思想的精华，在实施启发式教学的过程中，教师应及时抓住问题的启发时机，善于利用知识的启发原型，准确把握启发力度，从而启迪学生积极思考，使得学生的数学思维得以发生和发展.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]杨善林，汪青松. 高校研究型教师科研能力的培养[J]. 中国科技论坛，2007（06）：118-120.

[3]殷虹.关于启发式教学的一些思考[J]. 职业教育研究，2007（09）：122-123.

[4]韩龙淑，王新兵. 数学启发式教学的基本特征[J]. 数学教育学报，2009，18（06）：6-9.

[5]韩龙淑，曾小平. 数学教师对启发式教学认识的调查研究[J]. 数学教育学报，2014，23（04）：55-58.