摘要：数学运算是数学核心素养的一个重要方面，也是贯穿整个数学教学与学习的一个非常重要环节.要想学好数学就要学会数学运算，而且要算（数学运算）得好、算得巧、算得快.正确认识数学运算，树立正确的运算观，掌握常见的运算策略，引领并指导数学教学与学习.

关键词：数学运算；核心素养；策略；反思；模型

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）28-0098-03

收稿日期：2022-07-05

作者简介：纪政（1981.5-），男，安徽省利辛人，本科，中学一级教师，从事中学数学教学研究.

《普通高中数学课程标准（2017年版）》对数学运算素养的定义，其是解决数学问题的基本手段，是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的素养.数学运算的表现形式主要包括数字的计算、估值和近似计算，式子的组合变形与分解变形，以及几何图形各几何量的计算求解等.

本文结合实例加以剖析，阐述数学运算的养成与技巧策略，抛砖引玉.

1 树立正确的运算观，学会勤于运算

很多同学错误地把“运算”看成“死算”，以为不需要动脑筋，是纯粹的“体力活”.平时数学解题时“眼高手低”，做题时只注重研究解题思路，而不动手去操作运算，忽视了数学的运算技巧，而只写数学解题过程不计算；片面专注于只做“技术人员”，专门进行“计算器”的功能.还有部分同学有时做课外作业或练习时存在一些抄袭现象，这些不正确的运算观，都直接影响着数学学习的效果，从而导致考试时“一算就错”，经常“会而不对”“对而不全”.其实，要让学生从内心认识到数学运算的重要性，学会树立正确的运算观，勤于运算，不但是为了数学考试，更重要的是自身能力的提升.

2 加强自我监控评价，学会反思运算

在数学运算过程中，要学会从运算对象是否理解，运算法则是否掌握，运算思路是否恰当，运算程序是否合理，运算过程是否简洁，运算结果是否正确，书写表达是否规范，运算速度是否快捷等不同层面加以分析、梳理、反思与探究，对存在的问题进行合理地归纳整理.在具体数学解题过程中，学会反思运算，从中挖掘出错误的点，进而从细节入手，自我深化，合理进行模仿中巩固，训练中摸索，比较中辨析，变式中优化，综合中创新等.

例1己知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在y轴上，F1，F2为C的两个焦点，C的短轴长为4，且C上存在一点P，使得|PF1|=6|PF2|，试写出椭圆C的一个标准方程.

解析设椭圆C的标准方程为

y2a2+x24=1（a>2），c=a2-4.

根据椭圆的定义，可得|PF1|+|PF2|=2a.

由|PF1|=6|PF2|，得|PF1|=127a，|PF2|=27a.

由几何不等式，有|PF1|-|PF2|≤|F1F2|=2c.

可得127a-27a≤2c.

整理有ca≥57.

所以c2a2≥2549.

即a2-4a2≥2549，解得a2≥496.

故答案：y29+x24=1（答案不唯一，只要满足a2≥496即可）.

点评通过以上问题的分析与解答，结合数学运算实质，要学会多层面、多层次的反思：问题的来源其实就是确定椭圆离心率的取值范围；问题的解决还可以通过椭圆基本性质、焦半径公式以及椭圆第二定义等；问题还可以进一步加以系数的一般化处理，转化为多项选择题形式出现.

3 掌握常见运算策略，學会善于运算

3.1 模型化策略

解题时，分析所研究问题的本质属性，经过去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的工作，将问题的基本特征构建为数学模型，通过模型化方法探求数学运算思路.常见的模型有：平面向量中的极化恒等式，导数中的极值点偏移，立体几何中的鳖臑阳马，平面解析几何中的阿波罗尼斯圆以及阿基米德三角形等.

例2已知AB是过抛物线y2=4x焦点F的弦，P为该抛物线准线上的动点，则PA·PB的最小值为.

解析设点C是弦AB的中点，过点C作抛物线准线的垂线，垂足为点D，根据抛物线的定义可知以AB为直径的圆与准线相切于点D.

利用极化恒等式，可得

PA·PB=14[（PA+PB）2-（PA-PB）2]

=14（4PC2-BA2）

=PC2-BC2

=PC2-DC2≥0，

当且仅当点P与点D重合时等号成立.

所以PA·PB的最小值为0.

点评合理巧妙地利用向量的极化恒等式可以快速对平面向量的数量积进行化归与转化，体现了平面向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点等相关特征的平面向量问题.

3.2 熟悉化策略

数学解题就是一个问题转化与变形的过程.具体操作时，把问题转化为一个等价的问题，或把原问题化归为一个已经解决的问题，从而化难为易，化生为熟，化繁为简，化未知为已知，实现问题的熟悉化.

例3如图1所示，在平面直角坐标系xOy中，一个质点从A（a1，a2）出发沿图中路线依次经过B（a3，a4），C（a5，a6），D（a7，a8），…，按此规律一直运动下去，则a2021+a2022+a2023+a2024等于.

解析由平面直角坐标系可知，A（1，1），B（-1，2），C（2，3），D（-2，4），E（3，5），F（-3，6）.

即a1=1，a2=1，a3=-1，a4=2，a5=2，a6=3，a7=-2，a8=4，….

由此可知，数列中偶数项是从1开始逐渐递增的，且都等于其项数除以2；每四个数中有一个负数，且为每组的第三个数，每组的第一个数为其组数，每组的第一个数和第三个数互为相反数.

因为2024÷4=506，所以a2021=506，a2022=1011，a2023=-506，a2024=1012.

则有a2017+a2018+a2019+a2020=2023.

点评将平面直角坐标系中按一定规律运动的动点所对应的坐标进行熟悉化处理，构建与之对应的数列，将问题转化为数列问题，利用数列的性质特征化生为熟，化繁为简，从而得以巧妙转化，合理应用，实现问题的转化与求解.

3.3 直观化策略

数形结合思维可以很好体现数学的直观化，一图胜百算.特别在解决实数问题时，以数轴加以直观；在解决向量或复数问题时，以坐标加以直观；在解决函数问题时，以图象加以直观；在解决方程问题时，以曲线加以直观等.同时掌握一些常见的模型加以合理直观化处理，能很好地解决相应的数学问题.

例4在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=π3，a=2，则BC边上的中线AM长的取值范围是.

解析设△ABC的外接圆O的半径为R，由A=π3，a=2，利用正弦定理可得2R=asinA=433，则有R=233.

根据图形的几何性质，如图2所示，此时点A的轨迹是以点O为圆心的圆的优弧BC（不包括端点B，C）.

由于A=π3，可得∠BOC=2π3.

结合R=233，可得OM=33.

数形结合可知AM≤OM+R=3，当且仅当AM⊥BC，即点A与圆的优弧BC的中点D重合时等号成立.

又AM>|MC-AC|>MC=1，此时点A无限接近于端点C（或另一边的端点B）时，但不能重合，否则构不成三角形.

综上分析，可得AM∈（1，3].

点评涉及解三角形问题中的线段长度的最值问题，经常借助平面几何图形的直观化策略来处理，结合动点的轨迹变化情况，数形结合，直观分析，合理化“动”为“静”，“动”中取“静”，“动”“静”结合，确定极端最值问题.

3.4 特殊化策略

合理的特殊化思维，就是数学运算中的一个重要策略，经常取特殊数值，找特殊位置，选特殊函数（或数列），用特殊图形，找极端位置等，以特殊化情境下所满足的情况来分析，进行合理的一般化处理.

例5著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理.已知△ABC的外心为O，重心為G，垂心为H，M为BC中点，且AB=4，AC=2，则下列各式正确的有（ ）.

A.AG·BC=4B.AO·BC=-6

C.OH=OA+OB+OCD.AB+AC=4OM+2HM

解析取特殊△ABC，此时A=π2，如图3所示，分别以AB，AC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系xAy.

则点A与点H重合，点M与点O重合.

可得A（0，0），B（4，0），C（0，2），M（2，1），G（43，23）.

所以AG·BC=（43，23）·（-4，2）=-4，选项A错误；

AO·BC=（2，1）·（-4，2）=-6，选项B正确；

OA+OB+OC=OA=OH，选项C正确；

由于AB+AC=（4，2），4OM+2HM=4（0，0）+2（2，1）=（4，2），则选项D正确.

故选BCD.

点评根据题目条件，特殊化处理，利用特殊的直角三角形构建平面直角坐标系，利用坐标运算与数量积公式等来分析与判断.

数学运算是数学基础知识的一个展示平台与综合应用，更是数学思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及创新意识、应用意识等的基石.数学运算素养的培养与提升一定要坚持不懈，并树立正确的运算观，养成良好的运算习惯.

参考文献：

［1］贾东承.高中数学解题能力培养路径探析[J].新课程导学，2019（35）：19.