摘要：金属棒垂直切割磁感线运动的模型是电磁感应综合应用的一类典型问题，本文将2021年的四道高考题按照水平、竖直、斜面三种运动模型进行分类探析，进一步加深学生对动能定理和动量定理的理解.

关键词：电磁感应；功能关系；动量定理

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）28-0137-03

收稿日期：2022-07-05

作者简介：赵继辰（1984-），男，北京人，博士，从事物理教师教育培训与研究.

新版普通高中物理课程标准在学科核心素养中提到：科学思维是基于经验事实建构物理模型的抽象概括过程；是分析综合、推理论证等方法在科学领域的具体运用.金属棒垂直切割磁感线运动的模型是电磁感应综合应用的一类典型问题，主要考查法拉第电磁感应定律、闭合电路歐姆定律、牛顿运动定律、功能关系、动量定理等众多知识点，在历年高考中出现频率很高.本文将2021年的高考题按照水平、竖直、斜面三种运动模型进行分类探析.

1 水平运动模型

（2021年北京市高中物理等级性考试第7题）如图1所示，在竖直向下的匀强磁场中，水平U型导体框左端连接一阻值为R的电阻，质量为m、电阻为r的导体棒ab置于导体框上.不计导体框的电阻、导体棒与框间的摩擦.ab以水平向右的初速度v0开始运动，最终停在导体框上.在此过程中（）.

A．导体棒做匀减速直线运动

B．导体棒中感应电流的方向为a→b

C．电阻R消耗的总电能为mv02R2R+r

D．导体棒克服安培力做的总功小于12mv02

接下来我们对问题进行拓展，采用动量定理求解导体棒运动的位移s.

由动量定理可知，导体棒所受到的安培力冲量IA等于导体棒的动量增量Δp.由于安培力的大小随时间t变化，因此采用微元法进行求解.

IA=∑Δt→0FAΔt=∑Δt→0B2L2R+rvΔt=B2L2R+rs=mv0

解得s=R+rmv0B2L2.

（2021年海南省高中物理选择性考试第18题）如图2，间距为l的光滑平行金属导轨，水平放置在方向竖直向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B，导轨左端接有阻值为R的定值电阻，一质量为m的金属杆放在导轨上．金属杆在水平外力作用下以速度v0向右做匀速直线运动，此时金属杆内自由电子沿杆定向移动的速率为u0．设金属杆内做定向移动的自由电子总量保持不变，金属杆始终与导轨垂直且接触良好，除了电阻R以外不计其它电阻．

（1）求金属杆中的电流和水平外力的功率；

（2）某时刻撤去外力，经过一段时间，自由电子沿金属杆定向移动的速率变为u02，求：

①这段时间内电阻R上产生的焦耳热；

②这段时间内一直在金属杆内的自由电子沿杆定向移动的距离．

2 竖直运动模型

（2021年湖北省高中物理选择性考试第16题）如图3（a）所示，两根不计电阻、间距为L的足够长平行光滑金属导轨，竖直固定在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向里，磁感应强度大小为B.导轨上端串联非线性电子元件Z和阻值为R的电阻.元件Z的U-I图像如图3（b）所示，当流过元件Z的电流大于或等于I0时，电压稳定为Um.质量为m、不计电阻的金属棒可沿导轨运动，运动中金属棒始终水平且与导轨保持良好接触.忽略空气阻力及回路中的电流对原磁场的影响，重力加速度大小为g.为了方便计算，取I0=mg4Bl，Um=mgR2Bl.以下计算结果只能选用m、g、B、L、R表示.

（1）闭合开关S，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v1；

（2）断开开关S，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v2；

（3）先闭合开关S，由静止释放金属棒，金属棒达到最大速度后，再断开开关S.忽略回路中电流突变的时间，求S断开瞬间金属棒的加速度大小a.

3 斜面运动模型

（2021年天津市高中物理等级性考试第11题）如图4所示，两根足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ间距L=1m，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成θ=30°角，N、Q两端接有R=1Ω的电阻．一金属棒ab垂直导轨放置，ab两端与导轨始终有良好接触，已知ab的质量m=0.2kg，电阻r=1Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小B=1T．ab在平行于导轨向上的拉力作用下，以初速度v1=0.5m/s沿导轨向上开始运动，可达到最大速度v=2m/s．运动过程中拉力的功率恒定不变，重力加速度g=10m/s2．

（1）求拉力的功率P；

（2）ab开始运动后，经t=0.09s速度达到

v2=1.5m/s，此过程中ab克服安培力做功W=0.06J，求该过程中ab沿导轨的位移大小x．

斜面运动模型相比于水平、竖直模型的一个显著特点是需要将重力按运动效果分解为沿斜面向下的分力和垂直于斜面向下的分力.本题的另一个特点是拉力的功率恒定不变，即拉力随速度的增大而减小.

拓展，设置情景：当金属棒达到最大速度后，撤去拉力，分析运动情况.

撤去拉力后，金属棒受到重力下滑分力和安培力的共同作用，做加速度减小的减速直线运动到最高点.

由功能关系可知，金属棒减少的动能等于克服重力下滑分力所做的功与电阻消耗的电能Q3之和.设金属棒沿斜面向上的位移为s，由动能定理可得Q3=12mv2-mgssinθ.

由动量关系可知，金属棒减少的动量等于重力下滑分力的冲量与安培力的冲量之和.设金属棒沿斜面向上运动到最高点的时间为t3，由动量定理可得

mv=Gxt3+∑t3Δt→0FAΔt=mgt3sinθ+∑t3Δt→0B2L2R+rvΔt=mgt3sinθ+B2L2R+rs

而后安培力的方向变为沿斜面向上，金屬棒沿斜面下滑，做加速度减小的加速直线运动.当金属棒再次回到撤去拉力的位置时速度为v4，金属棒增加的动能等于重力下滑分力所做的功与电阻消耗的电能Q4之差.由动能定理可得Q4=mgssinθ-12mv24.

由动量关系可知，金属棒增加的动量等于重力下滑分力的冲量与安培力的冲量之差.设金属棒从最高点运动到撤去拉力位置的时间为t4，由动量定理可得

mv4=Gxt4-∑t4Δt→0FAΔt=mgt4sinθ-∑t4Δt→0B2L2R+rvΔt=mgt4sinθ-B2L2R+rs

由此可以得到，这两个过程重力做功的大小相等，金属棒所受安培力冲量的大小相等，且t3v4，Q3>Q4.

此情景类似于考虑空气阻力的竖直上抛运动.

金属棒切割磁感线运动这类典型问题，安培力大小随速度变化，因此先进行受力分析，采用牛顿第二定律列出加速度的表达式，而后对运动情况进行定性分析，利用平衡状态求解最大速度.而后利用动能定理求解做功和生热的问题，利用动量定理求解距离的问题.

此外，磁感应强度随时间均匀变化而产生感应电动势问题（例如2021年山东省高中物理等级考试第12题、2021年辽宁省高中物理选择性考试第9题），以及线框切割磁感线运动问题（例如2021年全国甲卷理综物理高考第21题、2021年湖南省高中物理选择性考试第10题、2021年全国乙卷理综物理高考第25题）也是高考经常出现的题型，在此不再一一分析.

参考文献：

［1］人民教育出版社，课程教材研究所，物理课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书·物理（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.

［2］ 陆永华.指向物理核心素养的“主线”深度教学实践研究——以电磁感应单杆模型微专题复习为例[J].物理教师，2020，41（9）：21-23.