[摘  要] “图形的测量”是积累几何活动经验、培养空间思维的主要载体。在“图形的测量”板块教学时，通过结合实例、动手操作、沟通联系，以形助数让图形度量更直观;通过对比、梳理、反思，以数释形让图形计算走向深刻;通过以形表思、以数辅形、数形互通，把复杂问题简单化，抽象问题直观化，使知识的学习更加深刻明了。

[关键词] 数形结合;图形度量;图形计算;问题解决

数形结合思想是新课程标准体现的一项重要的数学思想，对培养学生的数学素养至关重要。“图形的测量”是小学数学教材中积累几何活动经验、培养空间观念的主要载体。著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事休。”在“图形的测量”的教学过程中，挖掘其中蕴含的数形结合思想方法的内容（图1），能贯通学生心中数与形的内在联系，帮助学生积累数学基本活动经验，还能引导学生建立空间观念，培养空间思维，提高问题解决能力。

一、以形助数，助推图形度量板块

加强对度量单位实际意义的理解，对“图形的测量”板块的教学起到决定性的作用。教学时，教師应让学生明白为什么要统一度量单位，经历度量单位产生的过程，以及度量单位间的区别与联系。要想准确区分这些度量单位并正确运用，教师应尝试以形助数，让“度量单位”变直观，构建完整的度量单位的知识网，以便知识的灵活应用（图2）。

（一）结合实例，在直观中感知度量

度量板块教学时，教师要着眼于度量表象的建立。让学生亲密接触度量的对象，引导学生对具体实例进行观察、比较等感知活动，给学生丰富感知的机会。

例如“面积的认识”，身边哪些物体有面？让每个学生都找一找，会发现面无处不在，桌子、凳子、练习本、文具盒等，这些物体都有面，面是长在物体上的，这些物体如果画下来就是一个平面图形。再看一看、摸一摸这些面，会知道面是看得见、触摸得到的。再比一比，会发现这些面有大有小，面的大小就是它们的面积。如此，学生对面的大小有了直观的感知。

“面积”的学习，标志着学生的认知领域从一维空间延伸到二维区域，这是学生认知系统一个质的飞跃。通过摸一摸，直观感知面是立体图形的一部分，有曲面和平面之分;再通过比一比，认识到面是有大小的。结合具体实例，理解面积的含义，对面积的进一步学习有很好的促进作用。

（二）动手操作，在实践中体验度量

度量知识的即时掌握并不重要，重要的是在获取知识的过程中学生活动经验的积累。度量知识的真正掌握需要教师给学生提供动手操作的机会，让学生经历用不同的方式进行测量、感受、理解的过程。让学生在操作中体验，在体验中掌握。在反复操作中体验度量单位，加深对度量单位的理解，建立度量单位的概念，让度量知识真正内化。

例如“面积单位的认识”的教学，让学生找一找，找身边的1平方厘米、1平方分米、1平方米的平面;比一比，用学具验证自己对这些面大小的估计是否准确;量一量，用1平方厘米的小正方形度量橡皮的一个面;铺一铺，用1平方厘米的小正方形来密铺1平方分米的正方形;站一站，在1平方米大小的正方形纸上站一站，看看能站几个小朋友。再如容积单位“毫升的认识”的教学，可以这样安排：让学生猜一猜，1毫升的水大概有多少;量一量，用量筒量出1毫升水;数一数，1毫升水有几滴;玩一玩，把1毫升水倒在手心来感受;比一比，在杯子中倒入10毫升水，与1毫升水比一比。

长度单位、面积单位、体积单位等这些度量单位都是比较抽象的概念，所以教师在教学时更要提供多种实践的机会，设置丰富的体验活动。在动手操作的过程中，深度体验度量，让学生在多维的体验活动中建立度量单位的表象，形成对度量单位的建模。

（三）加强联系，在沟通中顿悟度量

数学的学习要从知识间的联系去思考问题，度量的学习更不能孤立地进行。不同度量单位间的进率有差异，而且它们的教学零散地分布在不同的年级，所以学生对度量单位的掌握也是碎片化的，这样的学习对学生造成很大困扰。因此，教师要从整体上进行沟通联系，构建度量单位的知识网，让知识变得更直观、更有序。

例如在理解体积单位之后，可以进行长度、面积、体积单位之间的沟通整理教学，让学生用手分别比画出1厘米、1平方厘米、1立方厘米的大小。在比画的过程中，引导学生去感受：三者所表示的形状不同，意义也不同，1厘米是一条线，只需从一个方向进行比画;1平方厘米是一个面，要比画长和宽两个方向;而1立方厘米是一个体，要比画长宽高三个方向。然后复习长度单位间、面积单位间、体积单位间的进率，进而发现：两个面积单位间的进率就等于相对应的长度单位间进率的平方，两个体积单位的进率就等于相对应的长度单位间进率的立方。

数学知识是层层深入、不断推进的过程，度量教学借助形来描述度量单位，找到它们的联系与区别。从一维到二维再到三维，让度量由线及面，面动成体，由体成系，在沟通中理解度量，掌握各度量单位之间的进率，能获得理想的教学效果。

二、以数释形，助推图形计算板块

图形具有形象直观的优点，所以不管是立体图形的表面积和体积的计算，还是平面图形的周长和面积的学习，在初学时都会给学生一种假象，让他们觉得这些知识很简单，易学，但等到知识一综合，就会发现情况不妙了，周长与面积混淆了，表面积跟体积的内容又没那么清晰了。光靠直观的表象不能很好地解释图形里面蕴藏的本质，很难让知识深刻。因此，教师要引导学生观察各图形的特点，沟通图形之间的联系，发掘里面的隐含信息，从“形”中抽象出“数”，以数释形，让直观走向深刻（图3）。这样才能真正理解图形计算，明白图形计算的本质，让图形的计算落地生根。

（一）在对比中明理，让算理更清晰

在图形计算的教学中，不能让学生直接进行计算公式的死记硬背。知识的混淆，究其原因，都是因为学生对概念的本质、方法的本质理解不清晰、不深刻。应加强对比教学，凸显其本质特征。平面图形之间、立体图形之间都不是孤立存在的，这些知识相互关联，有联系又有区别。需要教师创设条件，组织学生在观察中找到联系，在不断地对比中，总结方法，构建知识框架，梳理出知识脉络。

“平行四边形的面积”的教学，都是把“新知”平行四边形转化成“旧知”长方形（如图4），左边图形是把平行四边形“推拉”成长方形，右边图形是把平行四边形“割补”成长方形，为什么一个不可以计算出平行四边形的面积，一个却可以？“推拉”“割补”后的图形与原来的比较，什么没变，什么变了？“推拉”之后，周长不变，面积变了，所以平行四边形的周长=长方形的周长=（邻边+底）×2;“割补”之后，面积不变，周长变了，所以平行四边形的面积=长方形的面积=底×高。

平面图形、立体图形相互之间都是有着内在联系的，所以需要找到其中的连接点，不断地对比学习。包括新知与旧知的对比学习，易错点的对比学习，在对比学习中清晰概念，理解计算。

（二）在梳理中构建，让方法联成网

图形计算的相关知识点分散在各个年级、各章节的教材中。教学时，教师应引导学生对图形的特征进行观察探究，让学生感受图形之间的联系和区别，并经历推导转化的过程。以加强学生对图形计算方法形成深刻体验，在理解的基础上进行计算方法的梳理、归纳、总结。还要贯通知识的前后联系，注重知识之间的内在关系，沟通它们之间的区别与联系，完善认知结构。在形的学习中抽象出数的规律，以数释形。

从学生独立整理的作品反馈中（图5为其中之一），可以看出学生能对这些在不同时间段学习的平面图形知识有序梳理，并进行沟通、联系。由此可见平面图形、立体图形的学习，都需要通过一条主线将各知识点串起来，使之“竖成线”“横成片”，形成知识网络体系，构成完整的知识体系。

（三）在反思中内化，让能力得升华

波利亚曾说：问题的解决只是数学研究工作的一半，更重要的是解题后的反思与回顾。任何知识都需要一个内化的过程，通过反思，能够更深层次地理解知识，在不断地反思中对图形重新认识和理解，从而探寻出图形计算的本质。

例如梯形面积的计算的教学，有了三角形面积计算的基础，可让学生将两个完全一样的梯形拼成一个大平行四边形，再把大平行四边形的面积除以2就是其中一个梯形的面积，所以梯形的面积=大平行四边形的面积÷2=（上底+下底）×高÷2。公式的得到可以说是水到渠成，可在解决问题时，经常会有学生忘记除以2，所以在得出结论后，教师还要追问，以引发学生反思：“为什么要除以2？”“（上底+下底）×高计算的是什么？”“先算出上底加下底的和又是为什么？”在不断追问中，回顾和思考刚才的学习过程，让梯形面积的计算方法在反思中巩固。有了这样的讨论和理解，后面当已知梯形的面积，计算梯形的高或上下底时，都要用梯形的面积先乘2，学生也能很快反应出“梯形面积乘2”这是算大平行四边形的面积，再用这个面积除以底等于高，除以高等于底。有了这样的经验六年级学习圆锥的体积、计算圆锥的高，也就有基本的思维模式了。

任何学习都需要不断回顾与反思，图形的学习更甚，反思有助于图形与算式的沟通，对图形的理解更加深刻。反思更是为后面的学习提供更多的思维方式，有了这样的思考习惯，图形的学习会变得更加深刻。

三、数形互译，助推解决问题板块

数形结合思想是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来解决问题的思想方法，通过数与形的互相转化，把数与形统一起来。数形结合能使许多数学问题变得简单、直观。数形互译能使“图形的测量”板块的教学问题解决变得简单有趣，从而吸引学生主动参与解决问题的过程。

（一）以形表思，让抽象问题直观化

笛卡尔曾说：“没有任何东西比几何图形更容易印入脑际了。因此，用这种方式来表达事物是非常有益的。”对于纯文字的题目，借用图形将关键信息表达出来，有助于更加有效地思考问题、分析问题，寻求解决问题的方法。

例如：一个圆柱的高是10厘米，如果高减少3厘米，那么表面积比原来减少94.2平方厘米。原来圆柱的表面积是多少平方厘米？教师讲解时通过画图（图6），学生很容易明白：94.2平方厘米就是减少部分的侧面积。所以底面周长为94.2÷3=31.4（厘米），底面半径为31.4÷3.14÷2=5（厘米），表面积为31.4×10+3.14×5×5×2=471（平方厘米）。再如推导圆柱体积公式时，教师把圆柱切拼成一个近似的长方体，切拼前和切拼后，体积不变。那表面积呢？增加了，增加了多少？通过图形的帮助（图7），学生就能发现增加的部分是两个底面半径乘高，也就是2rh。这样把文字信息转化成图形的形式，可以让思考有了拐杖，有了具体的表象，以形表思，让解题思路一目了然，让抽象问题直观化。

（二）以数辅形，让几何问题代数化

图形的知识可以通过数和计算帮助理解，还可以由算式探究图形蕴含的规律，增进学生对图形的理解。在教学中，通过观察、找规律、归纳等方法，可以寻找出解决问题的数量关系式，使几何问题代数化。以数辅形，用代数的方法使问题能更顺利地得到解决。

例如计算多边形的内角和，可从一个顶点出发画对角线把多边形分成若干个三角形，分成了几个三角形，就是几个180°，由此可以求出多边形的内角和。再通过画图，找到其中的规律，学生就会发现三角形个数跟边数之间是有关系的，多边形内角和=（多边形的边数-2）×180°，为问题的解答找到了更简便的方法。如图8，已知正方形OABC的面积是10平方厘米，求圆的面积。按常规思路，求圆的面积，我们需要知道圆的半径。可是仅从小学的知识储备，不能算出半径的长度。但已知正方形的面积是10平方厘米，从图可以看出正方形的边OA、OC都是圆的半径，所以半径的平方就等于10平方厘米。圆的面积等于半径的平方乘圆周率，也就不需要算半径是多少，圆的面积就等于10×3.14=31.4平方厘米。

可见根据已知的图形信息和图形本身的特点，寻找其中的关联，将图形问题转换为代数问题，实现由形到数的转化，让问题解决更加快捷、准确。

（三）数形互通，让方法技能灵动化

数形结合能使隐藏的数量关系变得直观，能将浅显的图形问题变得深刻，在解决问题时应不断尝试，学会将数学语言与直观的图形语言进行转换。

如图9，密闭容器中的水，若倒过来，水面的高度是多少？从图中，可以知道现在水的高度是23厘米，由等底的圆柱和圆锥组成，其中圆锥的高为18厘米，所以计算得出圆柱的高为23-18=5（厘米）。若倒过来，那么圆柱部分形状不变，可是圆锥部分将变成一个跟现在等底的圆柱。因为等底等体积的圆柱与圆锥，它们的高是3倍的关系，所以新圆柱的高为18÷3=6（厘米），所以水的高度为5+6=11（厘米）。

数形结合能使数量之间的内在联系变得直观，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，因此，在问题解决教学中，应使学生感受数形结合的优势，并培养他們数形结合的思想，提升他们解决问题的能力。

综上所述，在“图形的测量”板块教学时，通过数形结合思想，在数与形之间搭建脚手架，让数形结合成为“图形的测量”教学的助推器。帮助学生准确理解图形的本质，积极探讨数与形之间的数学联系，让数直观，让形入微。教师需要不断提高自身的素养，研究相关的理论，做教学的有心人，挖掘数形结合点，设计科学有效的教学活动，引导学生建立空间思维，培养学生的数学核心素养。

作者简介：金姻脂（1983—），本科学历，一级教师，温岭市名师，从事小学数学教学工作。