李进

笛卡尔发明了坐标系，将函数与图像结合起来，让函数更加有趣，也更加有用和易用。一次函数是函数学习的基础，也是必考的知识点，如何求一次函数表达式是解决函数问题的基础。

一、由图像求函数表达式

例1 如图1，直线所对应的一次函数表达式是 。

【方法一】我们通过图像容易发现，函数过（0，-1）、（2，0）、（4，1）等整数点，任取两个点的坐标，用待定系数法即可求解。待定系数法是求函数表达式常用的方法，这里不再细说。

【方法二】利用k的几何意义求解一次函数表达式。如图2，一次函数图像与x轴的夹角∠ABC的正切值为[12]，即为k的值，求得一次函数表达式为y=[1/2]x-1。

【点评】对比待定系数法，方法二的做法明显降低了计算量，有利于节省考试时间，提高计算的正确率。需要注意的是，当发现一次函数图像中y随x增大而增大时，k等于直线与x轴夹角的正切值，而如果一次函数图像中y随x增大而减小时，k等于直线与x轴夹角的正切值的相反数（如图3），求得一次函数表达式为y=[-1/2]x+1。

【方法三】类似求二次函数表达式时的交点式。若一次函数图像过（a，b），可以设y=k（x-a）+b，再找另外一个点坐标代入求出k，即可求出一次函数表达式为y=[1/2]（x-4）+1=[1/2]x-1。

【点评】这种方法计算量小，易在选择题或填空题中快速求出一次函数表达式。

二、由定义求函数表达式

例2 已知y-2与3x-4成正比例，且当x=2时，y=3。求出y与x之间的函数表达式。

【解析】根据正比例的定义，可以设y-2=k（3x-4），然后把x=2，y=3代入，求出k值为[1/2]，再整理即可，得函数表达式为y=[3/2]x。

【点评】本题综合考查了一次函数的性质、待定系数法求一次函数表达式。

三、由运动求函数表达式

例3 如图4，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1的图像分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是 。

【解析】根据已知条件得到A（[1/2]，0），B（0，-1），求得OA=[1/2]，OB=1。过点A作AF⊥AB交BC于点F，过点F作FE⊥x轴于点E，如图5，得到AB=AF。根据全等三角形的性质得到AE=OB=1，EF=OA=[1/2]，求得F（[3/2]，[-1/2]）。设直线BC的函数表达式为y=kx+b，代入點B和点F的坐标，解方程组得函数表达式为y=[1/3]x-1。

【点评】本题考查了一次函数图像与几何变换，待定系数法求函数表达式，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键。