李鹏

通过向量的数量积及其相关运算探究两个向量的夹角问题，考生常常因为概念不清、考虑问题不全面等原因而导致错误，现就此类问题在解题中常见的易错点剖析如下。

1.向量夹角的概念不清

剖析 在本题中，向量α，b的夹角并不是∠ABC，因为它们并没有从同一个起点出发，我们可以通过平移让两个向量的起点重合（图2），不难发现它们的夹角其实是∠ABC的补角。

总结 寻找向量的夹角时，必须让两个向量从同一个起点出发，即将两个向量的起点通过平移放到同一点处，这时所形成的角才是向量的夹角。

2.忽视向量夹角的范围

此外本题还能利用数形结合的思想，将向量a，b在坐标系中画出来，如图3所示，将两个向量的起点都放在坐标原点，此时向量a的终点落在第二象限，向量b的终点落在y轴上半轴上，很明显它们的夹角是α-π/2。

总结 根据向量夹角的定义，平面内任意两个向量夹角的取值范围为[0，丌]，做題中不能忽视这一点，以免出现错误。

3.忽视向量夹角为特殊值的情况

剖析 本题错解误认为两非零向量α与c夹角为锐角的充要条件是α·c>0。事实上，当夹角为0时，对于非零向量α和c，仍有α·c>0成立。

总结 从这道题可看出，在判断两非零向量夹角的范围时，不能简单通过数量积大于0或者小于0来判断。非零向量的夹角与数量积存在如下关系：

向量夹角虽然在教材中所占内容不多，求夹角的公式也只是数量积公式的变形，但是在实际解题中，经常会出现一些错误，同学们一定要引起足够的重视。endprint